Maths spé TS, Gauss.

[Green litchi]

Bien le bonjour, j'en appelle à vous surdoué(e)s des maths pour m'aider à résoudre ce TD qui me pose problème.

V'la l'énoncé :
Dans ce paragraphe, nous allons nous intéresser à l'équation au + bv = g, où g est le PGCD de a et de b.

1) Supposons trouvée une solution particulière (u0, v0) (>lire u et v indice 0 hein) de l'équation au + bv = g.
Notons (u, v) une autre solution de cette équation et posons a' = a/g et b' = b/g.

a) Justifiez l'égalité a'(u - u0) + b'(v - v0) = 0 puis utilisez le théorème de Gauss pour démontrer qu'il existe un entier relatif k tel que v - v0 = ka'.
Déduisez en finalement que u = u0 - kb' et v = v0 + ka'.

b) Réciproquement, prouvez que si u = u0 - kb’ et v = v0 + ka’ avec k entier relatif, alors au + bv = g.

Cas général

On suppose maintenant que c est un entier quelconque, a et b sont des entiers donnés, a > b > 0.
1)
a) Prouvez que si c n’est pas un multiple du PGCD de a et de b, alors l’équation ax + by = c n’a pas de solution.
b) On suppose que c est un multiple du PGCD de a et de b, soit c = c’g. Résolvez alors l’équation ax + by = c.

Voilà.
En fait, j’ai uniquement fait la première partie de la question 1) du premier exo, et j’ai bloqué sur l’utilisation du théorème de Gauss.

C’que j’ai trouvé pour la 1), c’est facile mais au cas où ça pourrait vous aider :
1) a)
au + bv = g
au0 + bv0 = g
Donc :
au + bv =au0 + bv0

g est le PGCD de a et b donc ne peut être égal à 0. L’équation précédente correspond donc à :
(au + bv)/g = (au0 + bv0)/g

Equivaut à : (a/g)u + (b/g)v - (a/g)u0 - (b/g)v0 = 0
Equivaut à : (a/g)(u - u0) + (b/g)(v - v0) = 0 (a/g = a’ et b/g = b’)
Equivaut à : a’(u - u0) + b’(v - v0) = 0

Youpi. La suite, je sèche, bonne chance et merci si vous avez le courage d'essayer.

[cesson]

bonjour

oour le 1) tu es bien parti mais peense que a' et b' sont premiers entre eux et comme b' divise a'(u-u0) c'est Gauss