Maths spe congruences,"si et seulement si"

[franceguy]

REBONJOUR!

C'est encore moi! je révise mes maths en vue de mon contrôle et j'ai de nouveau un problème ,avec les congruences cette fois !!

Voici l'énoncé:
SOIT n un entier naturel, on sépare son nombre des dizaines a et le chiffre des unités b; on a alors: n=10a+b Prouver que n est divisible par 17 SI ET SEULEMENT SI a-5b est divisible par 17 .

je sais qque je dois faire 2 parties

n est divisible par 17 donc... a-5bmultiple de 17 donc....

MAIS je ne vois pas comment faire .
POUVEZ-VOUS M'AIDER SVP? MERCI BEAUCOUP

[Lostounet]

Hi,

n est un nombre à deux chiffres.
(i) n=10a +b est divisible par 17
(ii) a - 5b est divisible par 17

Tu dois montrer que (i) entraine (ii) et que (ii) entraine (i) pour prouver le "si et seulement si".

Montrons que (ii) => (i)
Supposons a-5b est multiple de 17.
Alors 10(a - 5b) est aussi multiple de 17 !

10(a - 5b) + 17*3*b est aussi multiple de 17 (car somme de deux multiples de 17)

Ce nombre c'est en fait....?


Montrons que (i) implique (ii)
Supposons n multiple de 17. Alors -5n est aussi multiple de 17
-5n = -50a - 5b

Or modulo 17 cela est congru à ?

[chan79]

salut
Suppose d'abord que n soit un multiple de 17 et montre que a-5b est aussi un multiple de 17

[biss]

salut
10a+b=0[17] ssi
50a+5b=0[17] et ceci est vrai ssi
-50-5b=0[17] or 50=-1[17]
Donc 10a+b=0[17]ssi a-5b=0[17]