DM maths : Récurrence Ts

[Jegalereaveclesmaths]

Hello tout le monde, alors voilà j'ai un DM à faire pour ce week end or je ne suis pas chez moi et je n'ai absolument pas le temps de le faire c'est pourquoi je m'en remet à vous (je ne vous demande pas les reponses de A à Z mais au moins une grosse aide)

Exercice 1 : Soit la suite (Un) définie pour tout n € (ce symbole servira pour dire "appartenant à") N par : U0=1
U1=2
Un+2=5Un+1-6Un

Démontrer par récurrence que pour tout n € N : Un=2^n

"Attention" ! Il faut 2 termes pour initialiser cette propriété.


Exercice 2 : On considère la suite (Un) définie par : U0=5
Un+1=(1+(2÷2-Un)) Un+(6÷n+1)

1) a) Calculer U1; U2 et U3
b) Soit la suite (dn) définie par dn=Un+1-Un.
Ecrire un algorithme permettant de calculer Un et dn-1 en fonction de n>=1

2) On considère la suite arithmétique (Vn) de raison 8 et de premier terme V0=16.
Justifier que la somme des n premiers termes de cette suite est égale à 4n^2+12n.

3) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n on a Un=4n^2+12n+5


Voilà je compte sur vous s'il vous plaît merci beaucoup d'avance

[siger]

bonjour

si Un = 2^n
on a U(n+2) = 2^(n+2) = 4*2^n = 4Un
de meme U(n+1) = 2Un
....

"Un+1=(1+(2÷2-Un)) Un+(6÷n+1)"
n'est pas clair: a re-ecrire en utilisant les parentheses et "/" pour diviser
ainsi que U(n+1) et non Un+1 pour l'indice n+1
...

[Jegalereaveclesmaths]

Ok merci beaucoup pour ton aide
Je ne vois pas trop comment l'a réécrire du coup je vais essayer ca :
1+(2/2-Un) Un+(6/n+1)

[siger]

re

toujours pas net!
pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué disaient les S haddock.....

1+ 2Un /(2- Un) + 6/(n+1)
ou
1+ 2Un/(2-Un) + (6/n )+ 1
????????

[Jegalereaveclesmaths]

Ni l'un ni l'autre sur ma feuille c'est marqué (1+(2/n+1)) Un+(6/n+1)

[siger]

Re

encore une forme differente!
va pour U(n+1) = U(n) *(1+2/(n+1)) + 6/(n+1)
= (U(n) *(n+3)+6)/(n+1)

V(n) = V0*8n avec V0=16
Somme V(i) = V0 + V0+8 + V0+2*8+ .... +V0 +8n= nV0 + 8*(1+2+3+...+n-1)
= nV0 + 8*(n(n-1)/2 = ........

Soit S = sommme (n,V(i)) = 4n²+12n
U(n) = S+5
d'autre part
somme ((n+1),V(i))=S + V0 + 8(n) = S + 16+8n
d'ou U(n+1) = 4n² + 20n +21
= 4(n+1)² +12(n+1)+5
......