DM MATHS(1 question)

[Sihams]

Bonsoir, j’ai un DM en maths a rendre pour demain et je n’arrive pas a répondre a la question n*2.

Sujet:
Un antibiotique est une substance chimique organique inhibant ou tuant des bactéries pathogènes.
On injecte un antibiotique à un patient.On modélise cette situation par un fonction f qui à tout temps t, exprimé en heures, écoulé depuis l’injection,associe la concentration,exprimé en mg.L-1,de l’antibiotique dans le sang eu patient

Cette fonction f est définie sur l’intervalle [0;+infini[ par :

f(t)=8/t+8t

On note f’ la fonction dérivée de la fonction f

Question n*1
Montrer que pour tout réel t positif ou nul on a:
f’(t)=8(t-1)(t+1)/t^2

Etudier le signe de f’ sur [0;+infini[ et on déduire le tableau de variations de f.

Question n*2
Au bout de combien de temps apres l’injection la concentration de l’antibiotique est-elle maximale?Preciser cette concentration maximale en mg.L-1

Voici mon cheminement pour la question n*1

f’(t)= -8/t^2+8
= -8/t^2 +8t^2/t^2
=8+8xt^2/t^2
=-8t^2+8/t^2
=8(-t^2+1)/t^2
=8(1-t^2)/t^2
=8(1-t)(1+t)/t^2

8 et t^2 sont superieur a 0
Pour le signe de (1-t)(1+t) j’ai trouvé - et +
Variations de f sont décroissants jusqu’à 16 puis croissant


Pour la question 2
J’ai essayer de remplace le t par 1,2,3 car c’est sensé etre le nombre d’heure mais sa augmente constamment et c’est pas logique car l’antibiotique ne doit pas être supérieur apres 48h que celui de 24h.

Je ne sais donc pas comment faire surtout que le tableau de signe montre que c’est croissant jusqu’à l’infini.Je ne sais pas si j’ai fait une faute.

Merci

[hdci]

Bonjour,

Vous avez presque correctement répondu à la première partie de la première question : le calcul de la dérivée (voir plus bas).

Qu'est-ce que veut dire "pour le signe, j'ai trouvé - et +" : cela n'a pas de sens. La dérivée est positive sur un intervalle, négative sur un autre intervalle, etc. , et étudier le signe d'une dérivée c'est identifier tous les intervalles sur lesquels la dérivée est positive, et tous les intervalles sur lesquelles elle est négative. Pour cela, on fait souvent un tableau de signes : en effet, on applique simplement la règle du produit des signes (moins par moins fait plus, moins par plus fait moins, etc.)
Or justement, vous avez f' sois la forme d'un produit, donc...

Enfin, ce résultat est important, puisque c'est lui qui vous permet de répondre à la seconde question : on ne vous demande pas de chercher "au petit bonheur la chance", mais d'utiliser le lien entre les variations de la fonction et le signe de sa dérivée qui permet d'en identifier les (éventuels) minima et maxima.

Donc : commençons par revoir le signe de la dérivée et revenez vers nous ensuite.

(Remarque : n'oubliez pas de mettre les parenthèses sinon ce que vous écrivez est faux, et un petit oubli du signe moins ici ; également inutile de mettre le symbole "multiplier" qui ne fait qu'alourdir la notation :

f’(t)= -8/t^2+8
= -8/t^2 +8t^2/t^2
=8+8xt^2/t^2

Puis il y a une nouvelle erreur de parenthèse et de signe ici

f’(t)= -8/t^2+8
= -8/t^2 +8t^2/t^2
=8+8xt^2/t^2
=-8t^2+8/t^2[/b]

[Sihams]

Je me suis mal exprimé concernant le signe de f’.
J’ai fait le tableau de signe mais il est difficile de décrire mon tableau de signe par ecrit.Etant donne que 8 et t^2 sont positif il n’est pas utile de les mettre dans le tableau. Pour la premiere ligne du tableau (t-1) qui s’annule en 1(de - à +),
La deuxième ligne du tableau est (t+1) qui s’annule en -1 ,etant donne que -1 n’est pas dans l’intervalle du tableau on ne met pas cette valeur(+;+).Pour le signe de la derive (- et + font -) et (+ et + font +).C’est cela que j’ai voulu dire pas (- et +).Les variations de f sont donc décroissante jusqu’a 16 et croissant jusqua + infini.

Je n’arrive pas a la deuxième question car pour les variations j’ai trouvé croissant jusqu’a l’infini il n’y a donc pas de maximum pour la concentration en antibiotique qui n’est pas logique d’en avoir plus, plus le temps passe

Bonjour,

Vous avez presque correctement répondu à la première partie de la première question : le calcul de la dérivée (voir plus bas).

Qu'est-ce que veut dire "pour le signe, j'ai trouvé - et +" : cela n'a pas de sens. La dérivée est positive sur un intervalle, négative sur un autre intervalle, etc. , et étudier le signe d'une dérivée c'est identifier tous les intervalles sur lesquels la dérivée est positive, et tous les intervalles sur lesquelles elle est négative. Pour cela, on fait souvent un tableau de signes : en effet, on applique simplement la règle du produit des signes (moins par moins fait plus, moins par plus fait moins, etc.)
Or justement, vous avez f' sois la forme d'un produit, donc...

Enfin, ce résultat est important, puisque c'est lui qui vous permet de répondre à la seconde question : on ne vous demande pas de chercher "au petit bonheur la chance", mais d'utiliser le lien entre les variations de la fonction et le signe de sa dérivée qui permet d'en identifier les (éventuels) minima et maxima.

Donc : commençons par revoir le signe de la dérivée et revenez vers nous ensuite.

(Remarque : n'oubliez pas de mettre les parenthèses sinon ce que vous écrivez est faux, et un petit oubli du signe moins ici ; également inutile de mettre le symbole "multiplier" qui ne fait qu'alourdir la notation :

f’(t)= -8/t^2+8
= -8/t^2 +8t^2/t^2
=8+8xt^2/t^2

Puis il y a une nouvelle erreur de parenthèse et de signe ici

f’(t)= -8/t^2+8
= -8/t^2 +8t^2/t^2
=8+8xt^2/t^2
=-8t^2+8/t^2[/b]

[hdci]

Plusieurs points en fait.

L'énoncé dit à la question 1 (et je l'écris en mode "mathématique" pour la lisibilité)

Montrer que pour tout réel t positif ou nul on a:

Et vous avez trouvé...

Il y a une erreur de signe entre l'énoncé et ce que vous écrivez. Ceci dit c'est peut-être juste une étourderie ou un lapsus, car votre étude de signe est correcte.

Attention à ce que vous écrivez : "décroissant jusqu'à 16" se comprend "décroissant pour " alors que vous vouliez dire "décroissant jusqu'à " je pense (pour x=1...).

Après, l'analyse que vous faites (je n'avais pas lu l'énoncé, désolé...) est correcte, à mon avis il y a un problème dans l'énoncé (d'ailleurs, que signifierait une concentration "infinie", c-à-dire si t est "très grand", la concentration de l'antibiotique est gigantesque : cela n'a pas trop de sens.

De même, fonction définie sur [0,...[ mais 0 n'a pas d'image... Et s'il en avait une elle serait infinie...