DM Maths proba

[Harierod]

Bonjour à tous, j'ai un petit problème de probabilité à la question 2.c) que j'essaye de résoudre sans succès... Merci de tout aide !

voici l'énoncé :

Un joueur achète 10 € un billet permettant de participer à un jeu constitué d'un grattage suivi d'une loterie.
Il gratte une case sur le billet. Il peut alors gagner 100 € avec une probabilité de 1/50 ou bien
ne rien gagner.
G désigne l'événement : « Le joueur gagne au grattage ».
Il participe ensuite à une loterie avec le même billet. A cette loterie, il peut gagner 100 €, ou 200 €, ou bien ne rien gagner.

L1 désigne l'événement : « Le joueur gagne 100 € à la loterie ».
L2 désigne l'événement : « Le joueur gagne 200 € à la loterie ».
P désigne l'événement : « Le joueur ne gagne rien à la loterie ».
Si le joueur n'a rien gagné au grattage, la probabilité qu'il gagne 100 € à la loterie est 1/70 , et la probabilité qu'il gagne 200 € à la loterie est 1/490 .

1. a) Faire un arbre sur lequel on indiquera les renseignements qui précèdent.
b) Calculer la probabilité que le joueur ne gagne rien à la loterie, sachant qu'il n'a rien gagné au grattage. Compléter l'arbre obtenu avec cette valeur.
c) Au bout de chaque branche, indiquer le gain algébrique total du joueur après grattage et loterie, déduction faite du prix du billet.

2.En supposant le nombre de billets suffisamment grand pour que deux résultats soient considérés comme indépendants.
a)calculer la probabilité de ne rien gagner à ce jeu
b)le joueur achète 10 billets, calculer la probabilité pour qu'un ticket au moins soit gagnant à ce jeu.
c)En utilisant votre calculatrice, combien doit-il acheter de billets pour avoir une probabilité strictement supérieure à 0.5 de gagner ?

3. On note X la variable aléatoire qui représente le gain algébrique du joueur, après grattage et loterie, déduction faite du prix du billet.
La probabilité de l'événement « X = 90 » est 2/125 .
La probabilité de l'événement « X = 190 » est 2/250 .
a) Montrer que la probabilité que le joueur gagne 100 € à la loterie, sachant qu'il a gagné 100 € au grattage, est égale à 1/10 .
b) Calculer la probabilité que le joueur ne gagne rien à la loterie, sachant qu'il a gagné 100 € au grattage.
c) Déterminer la loi de probabilité de X. Calculer l'espérance de X.

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j'ai fait toutes les questions et voici ce que j'ai obtenu à la question antérieure à la 2.c) c'est à dire la 2.b):

b) Si le joueur achète 10 billets, la probabilité pour qu'un ticket au moins soit gagnant au jeu est
X est la variable aléatoire associé au nombre de fois où le joueur gagne au jeu
X suit une loi binomiale de paramètre 10 et 9/250

d'où

Merci pour tout aide !

[LB2]

Bonjour,

je complète/corrige l'énoncé de 2.c) : En utilisant votre calculatrice, combien doit-il acheter de billets pour avoir une probabilité strictement supérieure à 0.5 d'avoir au moins un billet gagnant

Il suffit de calculer la même chose qu'en 2.b), mais en remplaçant 10 par 11, 12, 13, ...
jusqu'à ce que p(X >= 1) dépasse 0.5

L'expression de p(X>=1) est assez simple, car où est le nombre de billets achetés (le nombre d'essai de ta loi binomiale)

Tu peux faire ça à la calculatrice, soit en essayant plusieurs valeurs par tatonnement, soit en passant ta calculatrice en mode suite et en utilisant un tableau de valeurs, soit en programmant un algorithme qui t'affiche la première valeur qui convient (en utilisant une boucle WHILE {p(X >=1) <= 0.5} { ... } par exemple)

Question subsidiaire : On joue en achetant des billets 1 par 1 jusqu'à ce qu'on gagne pour la première fois. On s'arrête immédiatement après. Quelle est l'espérance du nombre (aléatoire) de billets ainsi achetés?
(Pour info, le nombre de billets achetés jusqu'au 1er succès suit une loi usuelle connue sous le nom de loi géométrique)