DM maths pour demain: géométrie

[lyanka]

Voici l'énoncé de mon DM de maths:

OABC est un tétraèdre tel que:
-> OAB, OAC et OBC sont des triangles rectangles en O
-> OA = OB = OC = 1

On appelle I le pied de la hauteur isue de C du triangle ABC, H le pied de la hauteur issue de O du triangle OIC et D le point de l'espace défini par:
vecteur HO = vecteur OC.

1°) Déterminer la nature du triangle ABC. Qu'en déduit-on du point I?
2°) a/ Prouver que vecteur OH x vecteur AB = 0. En déduire que (OH) est orthogonale au plan (ABC).
b/ Prouver que vecteur AH x vecteur BC = 0. Quel es l'orthocentre du triangle ABC?
3°) a/ Calculer le volume V du tétraèdre OABC et l'ire S du triangle ABC.
b/ En déduire la distance OH.
4°)L'espace est rapporté au repère orthonormal (O, vecteur OA, vcteur OB, vecteur OC).
a/ Justifier que H est l'isobarycentre des points A, B et C. Calculer alors les coordonnées du point H, en déduire celles su point D.
b/ Prouver que ABCD est un tétraèdre régulier.


J'ai réussi quelques questions:

1°) J'ai utilisé Pythagore et calculé avec celui-ci les côtés du triangle qui sont de même longueur. Donc ABC est un triangle équilatéral
2°) vecteur OH peut s'écrire Vecteur OI + vecteur IH (relation de Chasles)
Donc on obtient: OI.AB+IH.AB (ce sont des vecteurs). Le premier terme est égal à 0 car I est la hauteur isue de O du triangle ABC, donc (OI) perpendiculaire à (AB) et le deuxième terme est aussi égal à 0 car est un point sur la droite (IC) et (IC) est perpendiculaire à (AB), donc (IH) perpendiculaire à (AB).
(OH) est perpendiculaire à (AB) et (IC), donc (OH) est orthogonale au plan (ABC).

Pour le reste, j'ai de nmbreuses difficultés à trouver la réponse...
Pour la question 3°)a/, S= (base x hauteur)/2. AB=racine de 2 et IC, j'ai trouvé (racine de 8) /2. Avec ceci, j'ai trouvé S= (racine de 3)/2 , mais je doute que ce soit juste...
Pour le volume, une amie m'a donnée une formule, mais elle doit être fausse car je trouve quelque chose tarabiscotté... V=(aire de la base x hauteur)/2

Aidez moi, s'il vous plaît