DM de maths : Méthane et Tétraèdre

[chou161197]

Voici le dm qui me pose problème !
Dans la molécule de méthane CH4, les centres des nouyaux des quatre atomes d'hydrogène sont les sommets d'un tétraède régulier. Le centre du noyau de carbonne est à l'intérieur de ce tétraède à la même distance l ainsi que la mesure a de l'angle formé par deux liaisons C-H.

1) Modélisation

ABCD est un tétraèdre régulier d'arête a (ses quatrre faces sont des triangles équilatéraux de côté a). L'une de ses hauteurs est le segment [AG] où Gest le centre de gravité de BGC. I et K sont les milieux des arêtes [CD] et [AB]. Dans le plan (AIB), les droites (IK) et (AG) se coupent en O.

A) exprimet les longueurs IA et IB en fonction de a.
B) Dessiner le triangle en vraie grandeur avec, par exemple a=3cm; placer Get O.
C) expliquer pourquoi OA=OB. De façon analogue, on montre que O est équidistant de A, B,C et D; on dit que O est le centre du tétraèdre régulier.
D) utiliser le téorhème de Pythagore dans le triangle AGI pour exprimer AG en fonction de a.
E) exprimer cosKAO dans les triangles AKO rectangle en K et AGB rectangle en G et en déduire que AO= (1/2)a(2/3) .
F) En déduire la valeur approchée par défaut au centième près de la mesure en degrès de l'angle KAO, puisque l'angle AOB109.5°.

2) Retour à la molécule de méthane

la distance ntre deux atomes d'hydrogène est d'environ 1.78 A° (angstroem) soit 1.7810^-10m. Utiliser les résulatats de la question 1) pour donner L et a.
:hein:
Merci par avance.

[Manny06]

tu peux sans difficulté calculer la longueur de la médiane d'un triangle équilatéral en fonction de la longueur du côté