DM de maths, l'inégalité de Huygens

[Nana46]

Bonjour,
J'ai un DM à rendre lundi et je n'y comprends rien.

f est la fonction définie sur I = [0 ; pi/2[ par : f(x) = 2sin(x) + (sin(x)/cos(x)) - 3x.

1) Justifier que, sur l'intervalle I, le signe de f'(x) est celui de 2cos^3(x) - 3cos^2(x) +1.

2) Soit P le polynome défini sur ]0 ; 1] par : P(X) = 2X^2 - 3X^2 + 1. Etudiez le signe de P(X) sur ]0 ; 1].

3) Déduisez-en le signe de f'(x), puis les variations de f sur l'intervalle I.

4) Prouvez alors que, pour tout nombre x de I, 2sin(x) + (sin(x)/cos(x)) > ou = 3x.

Merci de votre aide

[mehdi-128]

Bonjour,

Première chose à faire calculer vous obtenez quoi ?

[aviateur]

Bonjour,
Pour la 1 est ce que tu sais dériver f(x) ou alors non?
pour le 2, à mon avis il y a une erreur c'est P(X)=2 X ^3+.....

[Nana46]

Pour la 2 je me suis effectivement trompée, c'est bien P(X)=2X^3...

[Nana46]

Pour la dérivée je trouve f'(x)= 2cos(x) + cos(x) - (1/cos(x)^2) - 3 = 3 cos(x) - (1/cos(x)^2) - 3
Je ne sais pas si c'est correcte par contre

[aviateur]

Non ce n'est pas bon: pourquoi 3 cos(x)? Et puis La dérivée de sin(x)/cos(x) comment fait tu pour calculer

[Nana46]

J'ai fait sin(x) + 1/cos(x)
Je ne sais pas si la dérivée de 2sin(x) est 2cos(x) ou juste cos(x)

[pascal16]

(3u)' = 3(u')

[Nana46]

Je trouve f'(x)=2cos(x) + (cos^2(x)+sin^2(x)/cos^2(x)) - 3

[pascal16]

cos²+sin² = 1
et met tout sur cos²
et comme cos² est positif, le signe est celui du numérateur

[Nana46]

Merci, j'ai donc trouvé la première question.
Par contre je ne comprends pas la deuxième

[pascal16]

P(X) = 2X^3 - 3X^2 + 1. Etudiez le signe de P(X) sur ]0 ; 1].
tu peux remarquer que P(-1/2)=0 sinon, dérivée, min, max sur ]0 ; 1].

on fera ensuite X=cos(x)
"cos ([0 ; pi/2[ )" est en effet inclus dans ]0;1]

[Nana46]

Je n'arrive pas à trouver le signe de P(X). J'ai trouvé la dérivée qui est P'(X) = 6X^2 - 6X

[rcompany]

0<X<=1

que peux-tu dire de X-1?
que peux-tu dire de X(X-1) et a fortiori de 6X(X-1)?

[Nana46]

-1<X-1<0
Je ne comprends pas la suite