Maths : histoire des maths, hôtel infini de hilbert

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louvioftn
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Maths : histoire des maths, hôtel infini de hilbert

par louvioftn » 05 Fév 2023, 15:33

Bonjour, j’ai un exercice sur cet hôtel.
1. Expliquer, avec vos mots (ne recopiez pas Wikipédia ou autre), ce qu'est le problème de l'hôtel infini de Hilbert.

2. Expliquer comment, si cet hôtel est plein, il est possible de trouver une chambre de libre pour une personne supplémentaire qui arriverait.

3. Expliquer comment, si cet hôtel est plein, il est possible d'y loger une infinité de personnes supplémentaires (c'est une question plus difficile, n'y répondez que si vous avez compris, je ne pénaliserai pas les élèves qui n'y auront pas répondu)

voilà mon brouillon :

1) Le problème de l’hôtel infini de Hilbert : c’est un hôtel unique, qui propose une infinité de chambres, toutes identiques et numérotées de 1 jusqu’à l’infini. À l’arrivée des clients, l’hôtel étant plein, le gérant de l’hôtel demande au clients occupants une chambre de se déplacer vers la chambre avec un numéro immédiatement supérieur à la leur, que le locataire de la chambre n aille dans la chambre n+1 . Ainsi, a la fin de l’opération la chambre 1 est disponible et peut accueillir notre nouveau client.
(corrigé moi svp, je ne suis pas sûr, car il ne faut pas rentrer dans les détails, ni que ce soit trop long non plus, je voudrai le plus simple possible)

2) ma réponse est certainement fausse : nous avons juste à faire n + 1

3) la question 3 n’est qu’une question bonus, mais j’aimerais y répondre pour montrer au professeur que même avec mes difficultés j’essaye comme même. :
il est possible d’y loger une infinité de personnes graves aux nombres réels.



catamat
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Re: Maths : histoire des maths, hôtel infini de hilbert

par catamat » 05 Fév 2023, 16:26

Bonjour

Pour la question 2, c'est parce que dans un ensemble infini dénombrable ( par ex : les entiers supérieurs à 1), on peut ajouter un entier (dans ce cas on peut ajouter 0) on obtient un autre ensemble infini dénombrables qui est en bijection avec le premier par l'application n |-> n+1, ce deux ensembles on même cardinal car ils sont en bijection.

Pour l'hôtel au départ on a les nombres supérieurs à 1 puis après déplacement les nombres supérieurs à 2, ces deux ensembles ont même cardinal puis si on loge le dernier arrivé on retrouve les nombres supérieurs à 1 soit l'ensemble de départ !
On a ajouté un élément mais on a le même ensemble ! C'est assez paradoxal mais ce sont des ensembles infinis (ici dénombrables).
Il y a d'autres exemples de ce type, l'ensemble des nombres pairs positifs est en bijection avec l'ensemble des entiers naturels donc ils ont même cardinal.

 

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