Maths : Etude de fonction

[popo3151]

Bonjour ! J'ai un petit soucis concernant cet exercice, si quelqu'un pouvait m'aider, merci d'avance !

Etudier le sens de variation sur [0 ; ;)/2[ de la fonction qui a x associe tan(x).

[elguardito]

Tu fais la dérivée et ensuite tu en étudies le signe, et pour finir t'auras les variations de ta fonction.
Voilà ;)

[popo3151]

merci mais le problème c'est que je ne sais pas ce qu'est la dérivée de tan(x)...

[elguardito]

Ah forcément t'es pas plus avancé(e) alors.
En fait tu as le choix:
1+tan²x ou 1/(cos²x)

[popo3151]

ok merci

en fait, moi j'aurais plutot pensé que comme tanx= sinx/cosx alors on doit faire la dérivée de sin d'un coté et d'un autre celle de cos...parce que ces formules là, je ne les ai jamais vues...!

[m&ms]

Mais bon tu peux te débrouiller sans dérivées aussi...

[popo3151]

c'est-à-dire ???

[elguardito]

ok merci

en fait, moi j'aurais plutot pensé que comme tanx= sinx/cosx alors on doit faire la dérivée de sin d'un coté et d'un autre celle de cos...parce que ces formules là, je ne les ai jamais vues...!

Oui mais les formules que je t'ai donné c'est le résultat final.
Comme tu l'as dit tan=sin/cos
Soit f=u/v donc f'=(u'v-v'u)/v² et après calcul on arrive à ce que je t'ai donné.
Si tu veux je peux mettre mon raisonnement sur ton topic

[popo3151]

ah d'accord ! je n'avais pas suivi, merci en tout cas. Est-ce que par hasard tu sais comment faire pour étudier le sens de variation de la fonction f qui a tout x>0 associe f(x) = [(b – a)x] / [x²+ab] où a et b sont positifs et b plus grand que a ??
Si non, ce n'est pas grave...

en fait je dois trouver que la fonction f est croissante mais en faisant la dérivée de f, je la trouve négative ...

[elguardito]

Dans l'immédiat, je dirais qu'il faut développer le numérateur et ensuite faire la dérivée pour trouver le sens de variations de f.
Tu peux nous passer ton raisonnement stp pour voir où il est le pb

[m&ms]

c'est-à-dire ???

tan croissante sur[0;Pi/2] signifie aussi : quels que soient a , b appartenant à cette intervalle, a>b => tan a = cos b (cos décroissante sur cet intervalle)

d'où 1/(cos a) <= 1/(cos b) (2)

En multipliant (1) et(2) entre elles, on arrive à : tan a <= tan b

[popo3151]

alors j'ai fait la dérivée de (b-a)x qui est égale à (b-a) puis la dérivée de x carré + ab qui est égale à 2x

ensuite comme f'=(u'v-v'u)/v² on a f'(x) = [(b-a)(x²+ab) - (2x(b-a)x)] / [x²+ab]²
je me suis intéressée uniquement au numérateur car le dénominateur est tjs positif. Donc j'ai étudié le signe du numérateur qui est égal à :
(b-a)(x²+ab) - 2x²(b-a)
= (b-a)(-x²+ab)
et là je suis bloquée car certes, b-a est positif car b supérieur à a et on sait que b et a sont positifs mais il faudrait que je prouve que -x² est supérieur à ab pour que (-x²+ab) soit positif et ainsi que le produit des 2 facteurs le soit aussi ...

merci pour ton aide

[popo3151]

[quote="m&ms"]tan croissante sur[0;Pi/2] signifie aussi : quels que soient a , b appartenant à cette intervalle, a>b => tan a <= tanb

merci pour cette autre méthode. cela peut être interessant de l'utiliser !

[popo3151]

alors que penses-tu de ma méthode ???

[m&ms]

Ben la méthode est bonne... Après il faut discuter du signe de (-x²+ab)

x²-ab <= 0 -> x²<= ab -> .... f est ........ssante..

x²-ab >= 0 -> x²>= ab -> .... f est ........ssante..

[elguardito]

alors j'ai fait la dérivée de (b-a)x qui est égale à (b-a) puis la dérivée de x carré + ab qui est égale à 2x

ensuite comme f'=(u'v-v'u)/v² on a f'(x) = [(b-a)(x²+ab) - (2x(b-a)x)] / [x²+ab]²
je me suis intéressée uniquement au numérateur car le dénominateur est tjs positif. Donc j'ai étudié le signe du numérateur qui est égal à :
(b-a)(x²+ab) - 2x²(b-a)
= (b-a)(-x²+ab)
et là je suis bloquée car certes, b-a est positif car b supérieur à a et on sait que b et a sont positifs mais il faudrait que je prouve que -x² est supérieur à ab pour que (-x²+ab) soit positif et ainsi que le produit des 2 facteurs le soit aussi ...

merci pour ton aide

Le raisonnement me semble correct, j'aurais fait la même chose. Après pour voir quand -x²+ab est positif, je dirais qu'il faut faire une inéquation -x²+ab sup à 0.
Fais comme te l'a dis m&ms

[popo3151]

oui certes .... mais il faudrait que je trouve que la dérivée de f soit positive pour dire que f est croissante...car en fait dans l'énoncé de l'ex, on me dit que tanx = f(x) et comme je sais que tan et croissante sur (0 ; pi/2), il faut que je trouve la mm chose pour la fonction f .... quand pensez vous ??? aidez moi svp !!

[m&ms]

Pour moi, les 2 exos n'ont rien à voir !

Une fonction n'est pas ou croissante ou décroissante : elle peut être croissante sur certains intervalles, décroissante sur d'autres. Ce qui est le cas ici.... Résoudre -x²+ab sup à 0 te permettra de trouver ces intervalles !

[popo3151]

oui je suis d'accord avec toi mais je dois étudier la fonction sur )0; +infini)
je ne comprends comment on pourrait faire plusieurs cas suivant le signe de
-xcarré +ab

mais si tu veux je te montre l'ex complet, je serai peut-être plus compréhensible :

Sur un terrain de football, A et B marquent les poteaux de l’un des buts.
Un joueur J, avance perpendiculairement à la ligne de but (AB). On cherche la position de J pour laquelle l’angle de tir (AJB) est maximal. On note x=OJ, a=OA et b=OB
;)= angle OJA et ;)=angle OJB (0< ;) < ;) <;)/2) et ;)= angle AJB, l’angle de tir



1.a. Montrer que tan(;) – ;)) = ( tan ;) – tan ;)) / (1+tan ;)*tan ;)).
Je sais que tan t = sint/cost mais après en remplaçant je n’arrive pas au bout...
b. En déduire que tan ;) = [(b – a)x] / [x²+ab]

2. Etudier le sens de variation sur [0 ; ;)/2[ de la fonction qui a x associe tan(x) et en déduire que ;) sera maximal quand tan ;) est maximal.

3.a. Etudier le sens de variation de la fonction f qui a tout x>0 associe f(x) = [(b – a)x] / [x²+ab]
b. En déduire pour quelle valeur xo de x l’angle de tir est maximal. Sachant que la largeur du but est AB = 7,32 m, exprimer xo en fonction de a seulement.

4. Placer sur un même graphique les points d’où le joueur voit le but sous un angle maximal pour a entier de 1 à 10 et préciser l’angle à 0,1° près.

bon courage merci encore pour ton aide ...j'attends ta réponse !

[popo3151]

dites moi au moins quelque chose !!!! dans ma classe tout le monde galère sur cet ex à rendre, vous ne serez pas les seuls, ne vous inquiètez pas !!