Sp maths divisibilité, suites

[Hammer]

Bonjour à tous j'ai un exercice de sp maths qui me pose quelques problèmes et sur lequel j'aurais des petites questions à vous poser !

Voici l'enoncé:

Pour tout entier n> ou égal à 1 on pose Un=1!+2!+...+n!
On donne la décomposition en facteurs premiers des dix premiers termes de la suite (Un):
u1=1
u2=3
u3=3^2 (dsl pr les puissances)
u4=3*11
u5=3^(2)*17
u6=3^(2)*97
u7=3^(4)*73
u8=3^(2)*11*467
u9=3^(2)*131*347
u10=3^(2)*11*40 787

1. Montrer que Un n'est jamais divisible par 2, par 5 ni par 7.
(la j'ai tenté un raisonnement par contraposé: Par exemple pour démontrer que Un n'est jamais divisible par 2, j'ai supposé que:
Un=1!+2!+...+n!=2k ms après :triste: je ne sais ps comment monter que cela est faux pour tout n> ou égal à 1)

2.Peut on affirmer que Un est divisible par 11 à partir d'un certain rang ?

3.Peut on affirmer que, a partir d'un certain rang, Un est divisible par 3^(2) mais pas par 3^(3) ?

(la pour ces deux dernières questions je ne sais pas par quelle méthode il faut procéder)

Avez vous une idée ? Merci de votre aide. :happy2:

[rene38]

Bonjour

Montrer que Un n'est jamais divisible par 2

U_n=1+2!+3!+4!+...+n!=1+2(1+3+4×3+...+n(n-1)...×4×3)=1+2k, k dans IN

[Hammer]

BonjourU_n=1+2!+3!+4!+...+n!=1+2(1+3+4×3+...+n(n-1)...×4×3)=1+2k, k dans IN

A ok merci de ta réponse ! :id:

Sinon est ce que quelqu'un sait comment on peut monter qu'une suite est divisible par un nombre "à partir d'un certain rang" ? :hum:

[rene38]

2.Peut on affirmer que Un est divisible par 11 à partir d'un certain rang ?

(énoncé) est divisible par 11
Or pour , , produit de n facteurs dont l'un est 11, est multiple de 11
donc ...
et donc pour tout , est divisible par 11.

[Hammer]

Salut !

(énoncé) est divisible par 11
Or pour , , produit de n facteurs dont l'un est 11, est multiple de 11
donc ...
et donc pour tout , est divisible par 11.

La par contre je ne suis pas d'accord avec toi :--: : il s'agit bien d'un produit de n facteurs dont l'un est multiple de 11; mais auquel on ajoute 1!+2!+....+10! donc le résultat n'est pas forcément multiple de 11, n'est ce pas ?

[rene38]

La par contre je ne suis pas d'accord avec toi :--: : il s'agit bien d'un produit de n facteurs dont l'un est multiple de 11; mais auquel on ajoute 1!+2!+....+10! donc le résultat n'est pas forcément multiple de 11, n'est ce pas ?

Ce que j'ai mis en caractères gras, c'est bien
qui, c'est donné dans l'énoncé, vaut 3²×11×40 787 ;
c'est donc bien un multiple de 11.
Et la somme de deux multiples de 11 ...

[Hammer]

Autant pour moi ! :we: j'avais pas fait gaffe que cela revenait à écrire que U11=U10+11! !! Merci de ton aide ! :zen:

[Hammer]

Donc si j'ai bien compris pour répondre à la question 3. on procède de la même manière, c'est à dire (en gros) que pour tout n > ou égal à 5, on a un produit de n facteurs dont l'un est multiple 3^2, c'est bien cela ? :hein:

[rene38]

En gros, oui ; mais ça ne répond qu'à la moitié de la question.

[Hammer]

En gros, oui ; mais ça ne répond qu'à la moitié de la question.

Comme la suite Un ne contient pas de termes divisibles par 3^3 entre U1 et U10 elle ne sera jamais divisible par 3^3 ? Enfin ma justification est un peu vague je pense.

[Hammer]

Est ce quelqu'un a une idée pour expliquer le fait , que Un est divisible par 3^(2) mais pas par 3^(3) à partir d'un certain rang ?

[rene38]

Regarde du côté des congruences modulo 3³ de :

U8
U9=U8+9!

Fais une récurrence pour prouver que pour n>8,
si Un n'est pas divisible par 27 alors U[size=1]n+1 [/size]non plus

[Hammer]

ok je vais essayer cette méthode ! merci encore :we:

[lapras]

salut,
pas besoin de récurrence, dis juste que U8 ne congrue pas à 0 modulo 27
or pour n>= 9 , n! = 0[3^^3]
donc U_(n+1) ne congrue jamais à 0 mod 3^3 !