Dm maths complexes (fait mais besoin d'une vérification)

[kumiko-san]

Exercice 2, voilà je l'ai fait mais j'aimerais être sure.. merci !
1) Soit q un nombre complexe différent de 1 ; soit n un entier naturel.
On envisage la somme : S= 1+q+q2+...+qn+1+qn.
Calculer qS, puis S-qS. En déduire que S=(1-qn+1)/(1-q)

2) On considère le nombre complexe a=ei2;)/5
a) Démontrer que : 1+a+a2+a3+a4=0
b) Montrer que a3=(a barre)2
c) En déduire que : (a+a barre)2+(a+a barre)-1 = 0
d) Résoudre dans R l'équation : 4x2+2x-1=0
e) calculer a+a barre et en déduire la valeur exacte de cos(2;) /5)


1) qS = q+q²+...+q ^n+1
S-qS = 1 - q^(n+1)
S-qS = S(1-q)
S = (1- q^(n+1))/1-q

2) a) S= 1 + a +a²+ a^3 +a^4 = (1-a^5)/(1-a)
Or a^5 = 0 donc S = 0

b) a^3= (ei2pi6)^3= ei6pi/5= ei-4pi/5
et abarre² = (e-i2pi/5)²=ei-4pi/5 = a ^3
a^4= (ei2pi/5)^4=ei8pi/5= ei-2pi/5= a barre

c) (a+abarre)²+(a + abarre) -1 =a²+abarre²+2aabarre + a + abarre -1 = a²+a^3+2+a+a^4-1= 1 +a+a²+a^3+a^4 = 0

d) 4x²+2x-1 = 0
discriminant = 20>0
s1 = -1/4 -racine de5/4
s2 = -1/4 +racine de5/4

e) avec les formules d'euler et de l'equation c) on obtient alors :
4cos²a+2cosa-1=0 d'où cos 2/5 = (racine de 5-1)/4


Merci

[Anonyme]

Salut,

Pour moi c'est OK excepté une petite erreur de frappe:

En 2) a) a^5 = 1 et pas 0 ;)

En 2) e) cos 2*Pi/5 et pas cos 2/5
La valeur calculée est bonne :)


Nice work :)