DM de maths, je bloque!

par **Amine75** » 30 Déc 2006, 14:09

salut à tous il y'a un exercice dans mon DM de maths ou je bloque, j'aimerais que vous m'aidiez, je suis en TS spé PC:
j'ai fait le petit b, par contre pour le reste je ne vois pas trop

Une ville compte 10000 habitants, a 8h du matin, 100 personnes apprennent une nouvelle.
On note y(t) la fréquence des personnes connaissant la rumeur à l'instant t (exprimé en heures)
On choisit 8h comme instant initial t=0
La nouvelle se répand dans la ville de sorte que la vitesse de propagation y'(t)
est proportionnelle à la fréquence de ceux qui ne la connaissent pas.
On admet que le coefficient de proportionnalité est 1.15
a. Montrer que la fonction y est la solution de l'équation différentielle:
y'=1.15y(1-y) avec y(o)=0.01 et définie sur [0;+infini[.
b. La fonction z est dénfinie par z=1/y ( y ne s'annule pas)
Prouver que z vérifie l'équation z'= -1.15z+1.15
En déduire l'expression de y(t)
c- Etudier le sens de variation de la fonction y.
Quelle est la limite de y en + infini?
Tracer la courbe représentative de la fonction y.
d.Combien de personnes connaissent la nouvelle à midi?
e. En utilisant le graphique ou une calculatrice, donner une approximation de l'instant
auquel 99% de la population connaitra la rumeur.

par **Amine75** » 30 Déc 2006, 15:01

personne pour m'éclaircir?

par **celge** » 30 Déc 2006, 16:06

J'ai reflechi rapidement
mais il ne manque pas un bout d'énoncé?

par **Amine75** » 30 Déc 2006, 16:08

Non, non, j'ai recopié soigneusement tout l'exercice, c'est un exo de mon livre

par **celge** » 30 Déc 2006, 18:05

Je crois que je ne vois pas très bien ce qu'on demande à la première question. On demande de montrer que l'equa diff donnant y est bien celle proposée, ou autre chose ???

par **celge** » 30 Déc 2006, 18:15

en fait, il me semble logique que la vitesse d'augmentation du nombre de personnes au courant est proportionnelle au nombre de personnes au courant et au nombre de personnes non encore au courant, le tout multiplié ici d'après l'énoncé par une constante et par une fonction qui vaut en gros la chance de rencontre entre deux personnes l'une étant au courant, l'autre non.
On pourrait alors ecrire y'(t)=y(t)*(1-y(t))*1,15*a(t)
le tout serait donc de montrer que a(t) est constant et vaut un.
Mais peut etre que le but de l'exercice est de poser y'= (1-y)*1,15*a(t), et de montrer que a(t) est egal à y(t).Auquel cas, c'est plus dur...

par **mathador** » 30 Déc 2006, 18:17

Salut

le terme "fréquence" me fait bondir ... je me permets de le remplacer par "taux".
La première question demande il me semble de montrer que l'équa diff proposée est bien celle définie par la modélisation du problème. Et là, rien de plus facile : si le taux de personnes informées est y, celui de personnes ignorantes est 1-y ... je te laisse conclure.

pour b., il n'y a qu'à remplacer ! La résolution de l'équation en z est expliquée dans ton cours, et quand tu as z tu retrouves y sans difficulté.

c. est une banale étude de fonction, d. une application numérique.
Quant à e. , elle consiste à résoudre y(t)=0,99 ... une méthode par "tatônage" sera acceptée, mais si tu veux faire ça joliement tu peux procéder par dichotomie (ou trouver une résolution formelle, si c'est possible ... j'avoue ne pas avoir exprimé y pour te répondre !)

Edit : euh ... Celge, je ne te suis pas, là ... l'énoncé dit texto : y proportionnel à 1-y , avec coefficient de 1,15 ... ou alors le terme "fréquence" prend un autre sens que celui que j'ai adopté ? Très franchement je n'y crois pas ...

par **Amine75** » 30 Déc 2006, 18:25

J'avoues ne pas avoir compris ce que tu as expliqué

par **celge** » 30 Déc 2006, 18:59

Bon, je sais pertinemment que je me suis un peu embrouillé au début. Pour les questions, b, c et d, c'est vraiment simple, exactement comme tu l'as dit Mathador.
Mais pour la question a, oui, frequence n'est pas approprié, je suis d'accord, c'est un taux. (qui vaut 100/10000 soit 0,01 à t=0)
Mais si l'énoncé dit clairement que y' est proportionnel à 1-y , avec pour coefficient de proportionnalité 1,15, il n'indique en rien la présence du y ..(sauf si en terminale, on avait dit que toutes les equa diff qu'on etudierait seraient de la forme y'=a*y+b, ce qui serait ici traduisible par b=0 d'aprè l'énoncé, et a = 1,15*(1-y).

par **Amine75** » 30 Déc 2006, 20:37

Oui, mais tu ne m'aides en rien pour le petit a

par **Amine75** » 30 Déc 2006, 20:55

y ne serait pas égal à 1?

par **mary123** » 30 Déc 2006, 21:04

On note y(t) la fréquence des personnes connaissant la rumeur à l'instant t

La fréquence de ceux qui ne la connaissent pas : 1-y(t)

On admet que le coefficient de proportionnalité est 1.15

Donc la fonction y est la solution de l'équation différentielle:
y'=1.15y(1-y)

( si la vitesse de propagation est proportionnelle à la fréquence des personnes qui connaissent la rumeur et de ceux qui la connaissent pas) . Il doit y avoir un pb dans ton énoncé Amine, t'en a oublié la moitié :ptdr:

par **Amine75** » 30 Déc 2006, 21:11

Merci à toi de m'avoir aidé, est-ce que pour le b, si je trouves que y=1 c'est bon? je ne suis pas du tout sûr, et quand on hésite en maths ce n'est pas bon en général..... :hum:

par **mary123** » 30 Déc 2006, 21:22

Amine75 a écrit:Merci à toi de m'avoir aidé, est-ce que pour le b, si je trouves que y=1 c'est bon? je ne suis pas du tout sûr, et quand on hésite en maths ce n'est pas bon en général..... :hum:

b. La fonction z est dénfinie par z=1/y ( y ne s'annule pas)
Prouver que z vérifie l'équation z'= -1.15z+1.15

il suffit de calculer z' et de voir si en remplacant dans ton équation par z et z' ca marche

par **mary123** » 30 Déc 2006, 21:23

mary123 a écrit:b. La fonction z est dénfinie par z=1/y ( y ne s'annule pas)
Prouver que z vérifie l'équation z'= -1.15z+1.15

il suffit de calculer z' et de voir si en remplacant dans ton équation par z et z' ca marche

Une petite aide :

et tu remplace y'(t) par ce que t'as trouvé avant

par **Amine75** » 30 Déc 2006, 21:25

non, mais j'ai remplacé et j'ai trouvé qu'elle vérifiat bien l'équation donnée, mais aprés ils demandent de trouver y(t), je doit trouver les solutions de l'équation z'=-1.15z+1.15?

par **mary123** » 30 Déc 2006, 21:26

Amine75 a écrit:non, mais j'ai remplacé et j'ai trouvé qu'elle vérifiat bien l'équation donnée, mais aprés ils demandent de trouver y(t), je doit trouver les solutions de l'équation z'=-1.15z+1.15?

Oui c'est ca c'est une équation de la forme z'=az+b que tu sais résoudre et une fois que tu as trouvé z tu fais y=1/z, mais ca m'étonnerais beaucoup que ca fasse 1

par **Amine75** » 30 Déc 2006, 21:29

non, ca ne fait pas 1, je me suis trompé, alors pour les solutions, je trouves y(t)= ke^-1.15x+1, sachant que la condition initiale dit que y(o)=1/100, on a y(t)= je n'ai plus la formule

par **mary123** » 30 Déc 2006, 21:32

Amine75 a écrit:non, ca ne fait pas 1, je me suis trompé, alors pour les solutions, je trouves y(t)= ke^-1.15x+1, sachant que la condition initiale dit que y(o)=1/100, on a y(t)= je n'ai plus la formule

Tu remplace x par 0 et y par 1/100 et tu résoud l'équation pour trouver k

par **Amine75** » 30 Déc 2006, 21:40

ok, ca ne donnerait pas y(t)= 1.01e^-1.15x+1? donc aprés étudier le sens de variation de y, j'étudies le signe et j'en déduis les variations (classique) aprés pr la limite, classique aussi, et tracer la courbe jvais demander à ma calculette :), je te dis dés que je fais tout ça, tu me dis si c'est bon Mademoiselle Mary:)

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