DM maths 1ère (dérivation, exponentielle, signe, variation)

[ros2005]

Bonjour,

j'ai essayé de faire mon devoir maison mais je ne sais pas si ce que j'ai fais est correct ou pas ?
Pouvez-vous me la corriger s'il vous plaît et m'aider aussi pour la question 6 que je n'ai pas réussi à faire ?

Merci d'avance


Voici le sujet :

Soit la fonction g, définie sur tous les réels par g(x)=1-x+e^x
1. Déterminer les variations de g.
2. Déterminer l’extremum local de g, en déduire le signe de g(x).
On définit maintenant la fonction f sur R par f(x)=x+1+x/e^x
3. Démontrer que pour tout réel x, on a : f’(x)=e^-x * g(x)
Laisser toutes les traces de recherche apparentes. On pourra se servir de la forme donnée pour f(x)
pour la question suivante.
4. Déduire de la question 4 les variations de f.
5. Donner l’équation de la tangente à C (courbe représentative de f dans un repère orthonormé) au
point d’abscisse 0. On note T la droite représentant cette tangente dans le repère
6. Étudier la position relative de C et T.


1. g est dérivable en tant que somme sur R.
Sa dérivée est g’(x)=1+e^x

-1+e^x<0
e^x<1
e^x< e^0
x<0

-1+e^x>0
e^x>1
e^x>e^0
x>0

-1+e^x=0
e^x=1
e^x=e^0
x=0 (la racine)

x -oo 0 +oo
g’(x) - 0 +
g(x) \ 0 /

2. g(x)=1-x+e^x
g(0)=1-0+e^0
g(0)=-1-0+1
g(0)=0

g(x) est positif car son minimum est g(0)=0.

3. f(x)=e^-x*g(x)

On dérive f:

f’(x)= 1+0 + 1*e^x-x*e^x/(e^x)^2
=1+0+ e^x-x*e^x/(e^x)^2
=1+ e^x-x/e^x—-> (/e^x=e^1/x=e^x)
1+e^x-x*e^-x=e^-x*g(x)=f’(x)

4. f est du signe de g(x) car e^-x est toujours positif. Ainsi, f est décroissant entre -oo et x=0 et
croissant entre x=0 et +oo.

5. y=f’(a)*(x-a)+f(a)
y=f’(0)*(x-0)+f(0)
y=2x+1

6.

[Sa Majesté]

1. g est dérivable en tant que somme sur R.

de fonctions dérivables sur R

Sa dérivée est g’(x)=1+e^x

-1+e^x

2. g(x)=1-x+e^x
g(0)=1-0+e^0
g(0)=-1-0+1

1-0+1

4. f est du signe de g(x) car e^-x est toujours positif.

f' est du signe de g(x)

Ainsi, f est décroissant entre -oo et x=0

Non

6.

Etudie le signe de f(x)-(2x+1)