Mathieu

[rifly01]

Bonjour
1)
le nombre 2^(86243)-1 est un nombre premier
Combien de chiffres son écriture décimale possède-t-elle ?

Merci de m'indiquer votre méthode,

2)
calculer le logarithme décimal de ce nombre : 10^(10)^(10)^(10)^(10)^(10)

Merci d'avance

[alecs20]

Salut,

qu'entends-tu par écriture décimale? si c'est un chiffre premier il n'a pas de décimale..

[alecs20]

Salut,

1)

si je comprends bien ce que tu veux, tu peux décomposer ce nombre comme suit:



Une fois que c'est décomposer, tu peux trouver que 2^43 = 13 chiffres (avec une calculette), qu'un exposant 5 va rajouter 5 fois ce chiffre a chaque fois, et qu'un exposant 2 va en rajouter deux fois ce chiffre a chaque fois, etc.

2)

Ben tu sais que log(10) = 1, log(100) = 2, etc. Le log d'un multiple de 10 te donne le nombre de 0 dans ce meme multiple.

Tu sais aussi que 10^10 = 10 zéros, (10^10)^10 = 100 zéros, donc que:

10^(10)^(10)^(10)^(10)^(10) = 10*10*10*10*10 = 100 000 zéros, donc:

log(10^(10)^(10)^(10)^(10)^(10)) = 100 000

[Galt]

Je ne suis pas du tout d'accord
Le logarithme décimal de est a
Celui de est donc

[alecs20]

Désolé Galt, mais tu as tort. Calculer a partir de la calculatrice windows:

log(10)=1
log(10^10)=10
log(10^10^10)=100
log(10^10^10^10)=1000
log(10^10^10^10^10)=10 000

Et la calculatrice windows ne va pas plus loin. Cependant, il est facile de constater que:

log(10^10^10^10^10^10)=100 000

[tigri]

d'accord avec toi, GALT

[alecs20]

mon erreur, désolé.

[rifly01]

Re-Bonjour, (Merci pour vos réponses!)

Est qu'il est possible de déterminer le nombre de chiffres que contient ce nombre : 2^(86243)-1 (Nombre de Fermat (Premier))
Sans calculatrice

SVP soiyez méthodique pour que je puisse le refaire

Merci

[rifly01]

Re-


2^(86243)-1 est composé de 25962 chiffres.

J'ai utilisé une méthode non mathématique !

[yos]

Est il possible de déterminer le nombre de chiffres que contient ce nombre : 2^(86243)-1 (Nombre de Fermat (Premier))

Merci

En principe on prend la partie entière k du logarithme décimal du nombre. Ca te donne
10^k<2^(86243)-1<10^(k+1)-1

et tu as le nombre de chiffres.

Sans calculatrice c'est une autre histoire. A première vue, je prendrais
2^10 ~10^3 et j'essaierais d'approcher le nombre ainsi.

[rifly01]

Re - ce n'est pas ce que je voulais dire par calculatrice lol, je voulais juste avoir une méthode construite, et ne pas avoir un résultat qui sort de nul part,

"
En principe on prend la partie entière k du logarithme décimal du nombre. Ca te donne
10^k<2^(86243)-1<10^(k+1)-1
"

Une fois ici je me bloque :
10^k<2^(86243)-1<10^(k+1)
10^k+1<2^(86243)<10^(k+1)+1

Le log ne change rien donc :

log(10^k+1)log(10^k+1)<(86243)log(2)

[Galt]

log2 vaut à peu près 0,3010299 donc 86243log 2 vaut 25961 et quelques, et don c 2 puissance 86243 est de l'ordre de 10 puissance 25961, il a donc 25962 chiffres

[yos]

Tu calcules log(2^(86243)-1) .
Tu prends sa partie entière k.
Tu as kTu prends l'exponentielle de base 10 dans les 3 membres.
10^k
Tous les entiers de cet intervalles possèdent k+1 chiffres,
en particulier 2^(86243)-1