DM de mathématiques term S SPE math

[riton123]

bonjour, voici le second exercice de mon Dm et je sèche complètement
Il s'agit des congruences, voici l'énoncé:

On appelle (E) l'ensemble des entiers naturels qui peuvent s'écrire sous la forme 9+a² où a est un entier naturel non nul; par exemple 10=9+1²; 13=9+2², etc.
On se propose dans cet exercice d'étudier l'existence d'éléments de (E) qui sont des puissances de 2,3 ou 5.

1. Etude de l'équation d'inconnue a: a²+9=2^n où a e N(=a appartient a N), n e N, n>=4.
a. Montrer que si a existe, a est impair.
b. En raisonnant modulo 4, montrer que l'équation proposée n'a pas de solution.

2. Etude de l'équation d'inconnue a: a²+9=3^n où a e N, n e N, n>=3.
a. Montrer que si n3, 3^n est congru à 1 ou à 3 modulo 4.
b. Montrer que si a existe, il est pair et en déduire que nécessairement n est pair.
c. On pose n=2p où p est un entier naturel, p2. Déduire d'une factorisation de 3^n-a², que l'équation proposée n'a pas de solution.

3. Etude de l'équation d'inconnue a: a²+9=5^n où a e N, n e N, n>=2.
a. En raisonnant modulo 3, montrer que l'équation n'a pas de solution si n est impair.
b. On pose n=2p, en s'inspirant de la 2.c, démontrer qu'il existe un unique entier naturel a tel que a²+9 soit une puissance entière de 5.



J'ai réussi la question 1a) mais après je ne trouve pas

cordialement

[Monsieur23]

Aloha,

Pour la 1b : a est impair, donc tu peux l'écrire a = 2k+1.
Tu peux donc développer a^2 + 9 = (2k+1)^2+9.

[Manny06]

bonjour, voici le second exercice de mon Dm et je sèche complètement
Il s'agit des congruences, voici l'énoncé:

On appelle (E) l'ensemble des entiers naturels qui peuvent s'écrire sous la forme 9+a² où a est un entier naturel non nul; par exemple 10=9+1²; 13=9+2², etc.
On se propose dans cet exercice d'étudier l'existence d'éléments de (E) qui sont des puissances de 2,3 ou 5.

1. Etude de l'équation d'inconnue a: a²+9=2^n où a e N(=a appartient a N), n e N, n>=4.
a. Montrer que si a existe, a est impair.
b. En raisonnant modulo 4, montrer que l'équation proposée n'a pas de solution.

2. Etude de l'équation d'inconnue a: a²+9=3^n où a e N, n e N, n>=3.
a. Montrer que si n3, 3^n est congru à 1 ou à 3 modulo 4.
b. Montrer que si a existe, il est pair et en déduire que nécessairement n est pair.
c. On pose n=2p où p est un entier naturel, p2. Déduire d'une factorisation de 3^n-a², que l'équation proposée n'a pas de solution.

3. Etude de l'équation d'inconnue a: a²+9=5^n où a e N, n e N, n>=2.
a. En raisonnant modulo 3, montrer que l'équation n'a pas de solution si n est impair.
b. On pose n=2p, en s'inspirant de la 2.c, démontrer qu'il existe un unique entier naturel a tel que a²+9 soit une puissance entière de 5.



J'ai réussi la question 1a) mais après je ne trouve pas

cordialement

pour n>=4 2^n congru à 0 modulo 4
a est impair donc soit a=4k+1 soit a=4k+3 en utilisant les congruences modulo 4 montre que a²+9 ne peut pas être congru à 0 modulo 4

[riton123]

pour n>=4 2^n congru à 0 modulo 4
a est impair donc soit a=4k+1 soit a=4k+3 en utilisant les congruences modulo 4 montre que a²+9 ne peut pas être congru à 0 modulo 4

est ce que c'est bon ceci:

a=4k+1
a²=4(4k²+2k)+1*
a² congru 1 modulo 4

a=4k+3
a²=4(4k²+6k+2)+1
a² congru 1 modulo 4


a²+9 congru 10 modulo 4
a²+9 congru 2 modulo 4

donc a²+9 n'est pas congru 0 modulo 4, donc pas congru à 2^n
de ce fait l'équation n'a pas de solutiions

[Manny06]

est ce que c'est bon ceci:

a=4k+1
a²=4(4k²+2k)+1*
a² congru 1 modulo 4

a=4k+3
a²=4(4k²+6k+2)+1
a² congru 1 modulo 4


a²+9 congru 10 modulo 4
a²+9 congru 2 modulo 4

donc a²+9 n'est pas congru 0 modulo 4, donc pas congru à 2^n
de ce fait l'équation n'a pas de solutiions

c'est correct

[riton123]

c'est correct

merci pour ceci
pour la 2a)

on peut faire:
3 congru 1 modulo 4
3^n congru 1^n modulo 4
3^n congru a 1 modulo 4

mais je n'arrive pas pour montrer que 3^n congru 3 modulo 4

[Manny06]

merci pour ceci
pour la 2a)

on peut faire:
3 congru 1 modulo 4
3^n congru 1^n modulo 4
3^n congru a 1 modulo 4

mais je n'arrive pas pour montrer que 3^n congru 3 modulo 4

3congru à -1 modulo 4
3^n congru à (-1)^n modulo 4

[riton123]

3congru à -1 modulo 4
3^n congru à (-1)^n modulo 4

donc si n est pair 3^n congru 1 modulo 4
si n est impair 3^n congru -1 modulo 4 c'est adire 3^n congru 3 modulo 4
est ce correct?

[riton123]

donc si n est pair 3^n congru 1 modulo 4
si n est impair 3^n congru -1 modulo 4 c'est adire 3^n congru 3 modulo 4
est ce correct?

?????????????

[Manny06]

donc si n est pair 3^n congru 1 modulo 4
si n est impair 3^n congru -1 modulo 4 c'est adire 3^n congru 3 modulo 4
est ce correct?

oui c'est correct

[riton123]

oui c'est correct

ok mais après je suis en panne seche pour montrer que n doit etre pair

[Manny06]

ok mais après je suis en panne seche pour montrer que n doit etre pair

lis bien ton texte
tu dois d'abord démontrer que a est pair

[riton123]

lis bien ton texte
tu dois d'abord démontrer que a est pair

ca je les fait:
3^n est toujours impair
9 est impair donc si a est impair a²est impair et a²+9 est pair donc impossible car 3^n est tours impair
donc si a est pair a² est pair et 9 de a² est impair

[Manny06]

ca je les fait:
3^n est toujours impair
9 est impair donc si a est impair a²est impair et a²+9 est pair donc impossible car 3^n est tours impair
donc si a est pair a² est pair et 9 de a² est impair

ensuite a² est pair donc a est pair
on pose a=2k et n=2p

ensuite on écrit
9=3^2p -(2k)² on factorise (différence carrés) puis on utilise les décompositions de 9 en produit de 2 entiers

[riton123]

ensuite a² est pair donc a est pair
on pose a=2k et n=2p

ensuite on écrit
9=3^2p -(2k)² on factorise (différence carrés) puis on utilise les décompositions de 9 en produit de 2 entiers

je t'avoue que je n'est pas trop saisi l'astuce

[Manny06]

je t'avoue que je n'est pas trop saisi l'astuce

à quel endroit es-tu arrêté ?

[riton123]

à quel endroit es-tu arrêté ?

demontrer que a est paire question 2b et j'éprouve des diddicultés a comprendre comment montrer que n est paire$

[riton123]

demontrer que a est paire question 2b et j'éprouve des diddicultés a comprendre comment montrer que n est paire$

quelqu'un pourrai m'aider svp

[riton123]

svp je cale

[Ben314]

Dans le 2) tu as a²+9=3^n donc a²=3^n-9.
3^n c'est pair ou impair ? 9 c'est pair ou impair ? 3^n-9 c'est pair ou impair ?
Si a est pair, a^2 est pair ou impair ou ça dépend d'autre chose (dans a) ?