DM de mathématiques

[Akila]

problème résolu

[bernie]

Bonjour,

il n'y a pas une petite erreur ou un oubli dans l'équation :

x2 + y2 -2x- 2y=0

car je trouve que ton cercle passe par l'origine O , ce qui est impossible avec la suite de l'énoncé.

Ou alors c'est moi qui fais une erreur mais je ne vois pas laquelle.

Je te donne le début :

l'équation d'un cercle peut s'écrire sous la forme :

(x-a)²+(y-b)²=r²

avec pour centre (a;b) et rayon "r" avec r>=0.

Soit R le cercle d'équation x2 + y2 -2x- 2y=0 (1)dans un repère orthonormal du plan.
1) Déterminer les coordonnées du centre I de ce cercle ainsi que son rayon r.

On va donc visiblement transformer : x²+y²-2x-2y en :

(x-1)²+(y-1)² mais cette expression est égale à : x²-2x+1+y²-2y+1

soit x²+y²-2x-2y+2

donc (1) devient :

(x-1)²+(y-1)²-2=0

soit (x-1)²+(y-1)²=2 (2)

Donc centre I(1;1) et r=V2-->V=racine carrée.

Mais un tel cercle passe par l'origine O car IO²=1²+1²=2 donc OI²=r².

A+

[Akila]

Ah oui c vrai c moi ki me suit tromP!
G oublie d'écrire un chiffre ds l'équation!
La bonne équation c :
x2 + y2 - 2x - 2y- 8=0
Excuz moi encore une fois!!!!

[bernie]

Il faut tjrs se relire!!!!

1) Déterminer les coordonnées du centre I de ce cercle ainsi que son rayon r.

On va donc visiblement transformer : x²+y²-2x-2y en :

(x-1)²+(y-1)² mais cette expression est égale à : x²-2x+1+y²-2y+1

soit x²+y²-2x-2y+2

donc (1) devient :

(x-1)²+(y-1)²-2-8=0

soit (x-1)²+(y-1)²=10 (2)

Donc centre I(1;1) et r=V10-->V=racine carrée.


R coupe l'axe des abscisses en A et B et l'axe des ordonnées en C et D, l'ordonnée de D étant négative.
2) a) Calculer les coordonnées des points A , B , C et D


Pour A et B, leur ordonnée y=0 donc (2) donne :

(x-1)²+(-1)²=10 -->(x-1)²=10-1-->(x-1)²=9

Soit : x-1=3-->x=4

ou : x-1=-3-->x=-2

Donc A(-2;0) et B(4;0)-->on vérifie sur fig. Je suppose que A a une abscisse négative : pas indiqué si c'est ça A ou B.

Pour C et D, leur x est =0.

Donc (-1)²+(y-1)²=10-->(y-1)²=9

Je te laisse calculer et trouver :

C(0;4)

D(0;-2)


b) Démontrer que le symétrique orthogonal de D par rapport à la droite (AB) est l'orthocentre du triangle ABC.

Appelons H le symétrique orthogonal de D par rapport à la droite (AB) .

H est sur (DC) par construction.

Déjà, on sait que (CD) ppd (AB) car (CD) est axe des y et (AB) est axe des x.

Donc (CH) est une hauteur du tr ABC.


Il nous suffit de montrer que (BH) ppd (AC) et alors ns aurons montré que (BH) est un 2ème Hauteur de ABC.

On va calculer les coordonnées de H en écrivant que l'origine O est le milieu de [DH].

On sait que les coordonnées du milieu O d'un seg [DH] sont :

yO=(yD+yH)/2 : pareil pour les x mais on sait que xH=0

Donc 0=(-2+yH)/2 soit yH=2 donc H(0;2)

On va calculer les coordonnées de 2 vecteurs : AC et BH.

AC=(xC-xA;yC-yA) donc AC(0-(-2);4-0) soit AC(2;4)

De la même manière tu vas trouver BH(-4;2)

Or 2 vect u(x;y) et v(x';y') sont ppd si xx'+yy'=0

Pour vect AC et BH :

xx'+yy' donne 2(-4)+4*2=-8+8=0

Donc vect AC ppd vect BH et donc (BH) est une 2ème hauteur.

Donc H est orthocentre.

A+

[Akila]

Problème résolu

merci à bernie pr mavoir aider!!!