DM de mathématiques sur les suites et les fonctions.(termina

[Ludovic815]

Bonjour à tous,
J'ai un DM de mathématiques à faire, cependant je bloque sur 2 exercices.


Pour l'exercice 1 j'ai cherché la dérivée et je pense qu'il faut chercher la dérivée seconde, mais je n'y arrive pas. Pour l'exercice 2, je ne sais pas vraiment comment m'y prendre, je pense qu'il faut utiliser la démonstration par récurrence, mais je ne sais pas comment.
Pouvez vous m'aider ? Merci

[Sa Majesté]

Salut
Exo 1 :
Tu peux :
-soit passer par la dérivée, puis tu mets tout sous le même dénominateur, puis tu multiplies en haut et en bas par la quantité conjuguée
- soit directement multiplier en haut et en bas par la quantité conjuguée (sans passer par la dérivée)

Exo 2 :
1) c'est juste du calcul, ça se fait en 2 lignes, pas besoin de récurrence

[Ludovic815]

Merci pour la réponse si rapide. Pour multiplier par la quantité conjuguée comment faut il faire ? Et pour l'exo 2, je ne vois toujours pas comment faire
Merci

[Sa Majesté]

Exo 1 :
f(x)=racine(x²+4)-x
Qu'as-tu trouvé comme dérivée ?

Exo 2 :
Il suffit d'écrire
u(n+1) < 0.95 u(n)
Tu remplaces u(n+1) et u(n) par leur expression
Tu tritures un peu et tu trouves ce qu'on demande

[Ludovic815]

Merci.
Comme dérivée j'ai f'(x)= -1 + x/racine de (x²+4)

[Ludovic815]

Avec l'expression conjuguée, je trouve un résultat qui ne me permet pas de justifier les variations de f(x), je pense qu'il faut plutot utiliser la dérivée

[Sa Majesté]

Si on peut, mais ce n'est peut-être pas le plus simple

A partir de f'(x), tu mets tout sous le même dénominateur
f'(x)=(x-racine(x²+4)) / racine(x²+4)
Le dénominateur est positif
Le numérateur
- sur IR-
x < 0
racine(x²+4) > 0 => -racine(x²+4) < 0
du coup le numérateur est < 0

- sur IR+, je te laisse faire

[Ludovic815]

Sur IR+ : x>0
racine(x²+4)>0
-racine(x²+4)<0
et x< racine(x²+4)
donc sur IR+ f'(x)<0
estce juste ?

[Sa Majesté]

[quote="Ludovic815"]Sur IR+ : x>0
x racine (x²)
et racine(x²) = |x| = x sur IR+

Sans passer par la dérivée on faisait :
f(x)=racine(x²+4)-x
Sur IR-
x²+4 est décroissante => racine (x²+4) est décroissante
-x est décroisante
donc f est décroissante sur IR-

Sur IR+
f(x)=4/(racine(x²+4)+x) après avoir multiplié par la quantité conjuguée
x²+4 est croissante => racine (x²+4) est croissante
x est croisante
donc le dénominateur est croissant
donc f est décroissante sur IR+

[Ludovic815]

Merci.
Pour les asymptotes il faut chercher les limites de f(x) quand x-> vers +l'infini et - l'infini ?
Quand x tend vers +l'infini j'ai trouvé que la limite était 0, donc l'asymptote est l'axe des abscisses. Estce juste ?
Merci

[Sa Majesté]

Oui c'est juste pour +oo :++:

[Ludovic815]

J'ai trouvé pour les asymptotes !

[Ludovic815]

J'ai fini l'exo 1, je passe maintenant au numéro 2