DM de mathématiques, suites de nombres

[Rdvn]

Bonsoir
Contrairement à ce que dit ijki, je ne me suis nullement trompé.
Pour Toto66 voici le détail du calcul
Notons p pour Pi : py est alors le produit de y par Pi (p=Pi)
2x+py=400
py=400 - 2x
donc
y=(1/p).(400 - 2x)
dès lors
S = xy =(1/p).x.(400 - 2x) = (1/p).(400x - 2(x^2)) = (2/p).(200x - x^2)
Puis voir mon premier message pour l'étude du maximum
Êtes vous en seconde ou en première ? Avez vous étudié les dérivées ?
Bon courage

[ijkl]

RDV ton aire maximale te donne t-elle celle que j'ai trouvé?

aire maximale du rectangle de 63.66m par 100m de 6366 m^2

sinon sans dérivation pour les équations du second degré sa solution

une des deux solutions ici c'est zéro (tu vois là [tex]f(x)=200x-\dfrac {\pi }{2}x^2[/tex] s'annule bien en zéro et l'autre est le double de la valeur qui annule la dérivée qui s'annule pour 63.66m

[Toto66]

Je n’ai pas encore vu les dérivées, je suis en première... Cela pose-t-il un problème ou puis-je étudier le maximum avec une forme canonique? Je me disais que la forme canonique me donnerait seulement la longueur de x pour que l’aire du rectangle soit maximale, et non la largeur y...

[ijkl]

tu n'a pas besoin de dériver ma fonction comme je viens de le dire dans mon post précédent*

(je viens encore de vérifier mon résultat et il est bon : si RDV trouve un autre résultat que le rectangle optimal de 63.66m par 100m c'est qu'il s'est planté

Je ne suis jamais allé au lycée et comme j'ai pas d'enfant j'y connais rien aux programmes(les dérivées commençaient en seconde dans ma tête mais bon ici on en a pas besoin non plus pour trouver le résultat )

[Rdvn]

Bonsoir
Bien sûr, si les dérivées n'ont pas encore été étudiées, il faut passer par la forme canonique de 200x - x^2 ,
qui montre que l'aire est maximum pour x=100
On a y = (1/p).(400-2x) donc
y = (1/p).200 pour x=100
Soit environ 63,66
D'où l'aire maximale de (environ) 6 363 (en m^2)
Fin pour ce soir,proposez la justification
Bonne nuit

[ijkl]

y = (1/p).200 pour x=100
Soit environ 63,66
D'où l'aire maximale de (environ) 6 363 (en m^2)

bah oui donc du coup on a fait pareil (j'ai le même résultat )
j'ai pris à la lettre ce qu'a dit Toto quand il a posé la question pourquoi on a pas le même résultat

entre nos deux méthodes (je préfère la mienne car je la comprend mais pour Toto il choisira celle qu'il pense la
plus adaptée )

[Toto66]

Merci pour votre aide!
L’explication de Rdvn me paraît plus simple et plus appropriée à mon programme, même si celle d’ijkl est tout aussi juste...
Pour l’exercice 3, comment puis-je réaliser le « 2) » et le « 3) »?

[ijkl]

merci pour ta tolérance Toto (de toute façon faut toujours que je complique tout )
en fait moi sur ile maths je n'interviens jamais rubrique lycée (je devrais faire pareil ici )
je suis jamais allé au lycée comment pourrais me mettre à votre place (psychologiquement parlant question d'aider un type déjà?)
(j'ai pas vu le 2) et le 3) ) je laisse la place ...(si j'interviens j'irais soit rubrique supérieure soit rubrique punk(j'ai ouvert ma rubrique punk ici )

[Rdvn]

Bonjour
C'est un peu à vous, à présent :
2) Quel lien faites vous entre T(3) et T(2) ? Observez les schémas...
Comment peut on généraliser à T(n+1) et T(n) ?
3) Écrivez u(n+1) pour débuter , puis observez la relation à démontrer...

Remarque, hors votre exercice :
on veut vous faire démontrer que la somme des entiers de 1 à n est égale à
n(n+1)/2
Il y a beaucoup plus simple ! (méthode de Gauss), mais vous devez traiter votre exercice dans l'ordre proposé

[Toto66]

Bonjour,
J’ai terminé l’exercice; merci pour votre aide....
Il y a juste un exercice que je n’arrive pas à développer, la « 3) », où je dois montrer que le terme général Un=(n*(n+1))/2 vérifie la relation de récurrence précédente, à savoir Tn+1=Tn+n+1.
Merci

[Rdvn]

Bonjour
Un plan de travail qui ne demande pas d'attendre l'inspiration (il existerait plus "élégant", n'importe...) :
Montrer
u(n+1)=u(n)+n+1 c'est montrer u(n+1) - u(n) = n+1
on commence par écrire u(n+1)
Proposez vos essais
Bon courage

[Toto66]

Bonjour,
Je n’aboutis pas a un résultat cohérent; peut être n’ais-je pas réalisé correctement l’exercice précédent, cela pourrait avoir un impact? Pour justifier que pour tout entier n supérieur ou égal à 1, T(n+1)=Tn+n+1; j’ai seulement appliqué la formule sur les trois valeurs qui nous étaient données, soit T1, T2 et T3, et j’ai donc démontré que ça correspondait bien aux résultats obtenus... Une autre explication n’est pas nécessaire pour prouver la relation?
Ensuite, pour l’exercice dont je vous parle, vous me dites donc seulement de développer U(n+1)-Un=n+1 jusqu’à obtenir Un=(n*(n+1))/2 ?

[Rdvn]

Bonjour
Pour le 2) : la définition très "intuitive" des nombres T(n) ne rend pas commode une démonstration rigoureuse.
Mais à coup sûr il ne suffit pas de vérifier quelques valeurs depuis 1 !
(par exemple
n^2<10n
serait vrai "au début" mais faux à partir de 10)
On pourrait dire que le schéma définissant T(n+1) est constitué d'une ligne (en bas) comportant n+1 objets
surmontée d'une collection disposée en triangle, constituée de T(n) objets.
Mais ceci n'a aucune influence sur le 3)

Pour le 3) vous n'y êtes pas du tout, reprenez :
A=B+C est équivalent à A - B=C
donc
u(n+1)=u(n)+n+1
est équivalent à
u(n+1) - u(n) = n+1
Il faut calculer u(n+1) puis u(n+1) - u(n) et enfin montrer que ceci est égal à n+1
Proposez vos essais
Bon courage

[Toto66]

Juste avant, je reprend pour le 2); comment puis-je donc faire, à partir de mes informations pour prouver que la relation est juste avec rigueur?
Ensuite, si je calcule U(n+1):
U(n+1)=u(n)+n+1
Donc U(n+1)-U(n)=n+1
Cela prouve bien qu’à partir de U(n+1)=U(n)+n+1; U(n+1)-U(n)=n+1 non?
Cependant, même en trouvant le résultat de U(n+1)=U(n)+n+1; je ne comprend pas comment je peux prouver que « Un=(n*(n+1))/2 vérifie la relation de récurrence Tn+1=Tn+n+1...
Merci à vous

[Rdvn]

Bonsoir,
Pour la 2) faites comme je vous ai déjà dit : il me parait déraisonnable de chercher à répondre rigoureusement
à une question si peu rigoureuse elle même .
Pour la 3) vous n'y êtes pas du tout, faites très attention car si vous ne comprenez pas ce que je vous dit là, vous allez accumuler les mauvaises notes en math, sans comprendre pourquoi :

vous faites un raisonnement vicieux, c'est à dire que vous partez de ce qu'il faut démontrer pour démontrer...
On pourrait démontrer n'importe quoi ainsi, exemple :
démontrons que 1=0 ,
sachant 1=0,on a alors 1 - 0 = 0 -0 = 0, et puisque 1 - 0 = 0 on a bien 1=0
Vous partez de U(n+1)=U(n)+n+1, c'est ce qu'il faut démontrer ! vous ne pouvez pas partir de là !
Je fais le bon début :
Par définition U(n)=n(n+1)/2, donc U(n+1)=(n+1)(n+1+1)/2=(n+1)(n+2)/2, calculez U(n+1) - U(n)
Proposez vos essais

[Toto66]

Alors pour la deux, sans rigueur les preuves sur T1, T2 et T3 suffisent?
Pour la trois, je suis censé être très fort en maths, mais pour les suites et surtout cette question en particulier, j’ai un peu de mal.... Par exemple, je ne comprends pas comment on peut savoir que U(n)=n(n+1)/2. Ensuite, si j’en suis les calculs, U(n+1)-U(n)= ((n+1)(n+1+1)/2)-(n(n+1)/2)=((n^2 +3n+2)/2)-((n^2+n)/2)=(2n^2 +4n+2)/2=n^2+2n+1 ?

[Rdvn]

Pour la 2)
Faites comme dans ma réponse précédente, ça vaut mieux que s'en tenir à des exemples numériques, qui de toute façon ne prouvent rien.

Pour le 3) on sait que U(n)=n(n+1)/2 car c'est la définition de U(n) (énoncé !)
Attention aux calculs !Parenthèses !
U(n+1) - U(n) = (n+1)(n+2)/2 - n(n+1)/2 = ((n+1)(n+2) - n(n+1))/2 =(n^2+n+2n+2-(n^2+n))/2
=(n^2+3n+2-n^2-n)/2 =(2n+2)/2=2(n+1)/2=n+1

[Toto66]

Oui, erreur bête de ma part... Mais à partir de ce résultat de U(n+1)-U(n), je ne vois pas comment « Un=(n*(n+1))/2 » vérifie la relation de récurrence Tn+1=Tn+n+1...

[Rdvn]

Bonsoir

(Rappel , réponse précédente)
A=B+C est équivalent à A - B=C
donc
u(n+1)=u(n)+n+1
est équivalent à
u(n+1) - u(n) = n+1

La dernière égalité est à présent prouvée, donc la première aussi puisqu'elles sont équivalentes.

u(n+1)=u(n)+n+1 est bien exactement la même relation que celle vérifiée par T(n) (énoncé)
Il est tard, fin pour ce soir, à demain mais revoyez l'ensemble de la progression : l’exercice est
pratiquement terminé

[Toto66]

Bonjour,
Je suis d’accord qu’avec cette égalité, on vérifie bien que u(n+1)=u(n)+n+1, et donc aussi U(n+1)-U(n)=n+1.
Mais dans l’énoncé, on nous dit de vérifier U(n+1)=Tn+n+1; donc je ne vois pas en quoi on a besoin de développer cette expression, car il faut la vérifier PAR la relation Un=(n(n+1))/2. Or, nous avons seulement prouvé que U(n+1)=U(n)+n+1 équivaut à U(n+1)-U(n)=n+1, mais nous n’avons pas « vérifié » cette relation avec U(+1)=(n(n+1))/2... A moins que l’exercice soit mal formulé, je ne vois pas de vérification comme il est demandé....
Merci.