DM Mathématiques (1ère S)

[YounesLahouiti]

J'ai un DM à faire ,
Voici l'énoncé:
《On note φ la solution positive de l'équation :
x^2 - x - 1 = 0 .
Calculer la valeur exacte de φ^21 》

On connaît les valeurs de a , b et c
a= 1
b= -1
c= -1

J'ai calculé le discriminant Δ = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×(-1) = 1 -(-4) = 1 + 4 = 5

Δ>0 donc il y a deux racines et j'ai trouvé
1+V5/2 (=~ 1.6180)
1-V5/2 (=~ -0.6180)


J'en ai déduit que
φ^21 =( φ+1)^21
(Car x^2=x+1)
φ^21=φ^21+1

Mais comment je calcule ça ?
Aidez-moi s'il vous plaît ...

[aviateur]

Bonjour
Il y a plusieurs façons de répondre, je donne une réponse ici qui je pense est du niveau de 1S
On pose Tu as où et sont 2 rationnels.
Montrer (par récurrence) que si avec rationnels alors idem pour et dans la démonstration voir la relation entre et
A mon avis il faut finir avec un petit algo pour trouver la réponse

On peut faire mieux pour avoir uniquement des entiers en faisant de même avec
il suffira de diviser par 2^{21} à la fin.

[Ben314]

Salut,
Ben pour calculer "ça" de façon exacte, tu est effectivement bien dans la m... (vu qu'à mon avis tu n'a pas vu la formule du binôme de Newton".
Sauf que, dans l'énoncé, rien ne dit qu'il faille commencer par calculer la valeur de pour en déduire ensuite celle de et effectivement, c'est pas malin de procéder comme ça.
Bref, je te donne "l'indication" :
- L'énoncé nous dit que donc que .
- On en déduit que .
- On en déduit que .
- On en déduit que .
etc...

Et tu peut même aller "bien plus vite" : en partant de , tu peut directement écrire que puis etc
Puis en terminant par

EDIT (pas vu le message d'aviateur) : la méthode qu'il propose risque d'être celle attendue.
Ça semble sans doute plus "évident" à trouver pour un Lycéen.

[aviateur]

c'est pas malin de procéder comme ça.

Oui j'avais pas vu la suite. Sur le principe c'est la même chose mais effectivement on peut aller + vite.

Et bien je ne sais pas ce qui est attendu. Mais à mon avis le principe est le même avec l'avantage évident
d'utiliser la propriété de et non la valeur de
Perso à sa place je choisirai ta démarche.

[YounesLahouiti]

Aviateur et Ben314 , je vous remercie énormément pour m'avoir fourni des réponses détaillées et assez rapides .

Le problème c'est que je n'ai vraiment pas compris grand chose puisque je ne sais que calculer α, β et Δ. Que factoriser et développer un trinôme, faire un tableau de signe/variation ... Enfin je ne connais que les bases qui sont dans ma leçon .


Mais bon c'est déjà un début , mieux vaut partir sur quelquechose , même si ce quelquechose est compliqué, que rien !

[Ben314]

Choisi une bonne fois pour toute une des deux méthodes : soit celle d'Aviateur, soit la première que je propose (la seconde me semble pas trop "dans les clous" du Lycée, mais tu peut aussi choisir celle là si tu veut).
Pour un matheux "un peu fort", c'est quasiment les deux mêmes (c'est la même idée), mais pour toi, ça risque de sembler pas mal différent.

A mon avis, tu aurais plutôt intérêt à prendre celle d'Aviateur : non pas qu'elle soit réellement "meilleure", mais plutôt du fait que dans son post. il a été plus explicite sur le façon de procéder (alors que dans le mien, j'ai plus "donnée l'idée de départ" sans détailler).
Ensuite, une fois que tu as choisi la méthode, essaye de dire exactement où est-ce que tu ne comprend pas bien la démarche et on t'expliquera (sous entendu, on t'expliquera cette méthode là et on arrêtera de t'embrouiller)

[YounesLahouiti]

Après un très long moment je décide de prendre la méthode d'aviateur . Je vous remercie, toi Ben314 et toi aviateur de m'avoir donné des pistes !

Il y en a des choses que je ne comprends pas , par exemple pourquoi
U.n = A.n + B.n V5
Et non A.n + B.n V5 /2 ?
Je n'ai rien vu de tout ça en cours
Bref j'ai beaucoup de questions, car je suis complètement paumé .

[Ben314]

Il y en a des choses que je ne comprends pas , par exemple pourquoi
U.n = A.n + B.n V5
Et non A.n + B.n V5 /2 ?

Que tu prenne l'une ou l'autre des formules, ça ne changera rien : c'est exactement comme dans un énoncé de géométrie où on te donne un cercle dont, à priori, tu ne connait pas la taille où tu peut dire au départ que tu note X le rayon du cercle ou bien dire que tu note X le diamètre du cercle.
Bien sûr, ça va (un peu) changer la façon de mener les calculs, mais ça ne changera évidement rien au résultat : Si avec la première méthode tu trouve au final qu'il faut avoir un rayon de X=5cm, ben ça veut dire qu'avec l'autre méthode tu aurais trouvé au final qu'il faut un diamètre de X=10cm.

Bref, le nom que tu donne aux objet que tu manipule n'a bien entendu aucune conséquence en ce qui concerne le résultat et là, que tu choisisse d'appeler bn le coefficient qu'il y a devant le racine(5) ou bien que tu choisisse d’appeler bn le double de ce coefficient, ben ça changera rien (mais ça changer les formules).

Et d'ailleurs, vu qu'au départ aussi bien, ça pourrait être malin de dire que de façon à ce qu'au départ, on ait qui sont des entiers.
A toi de voir ce que tu préfère, mais ça me semblerais plus judicieux de suivre exactement les notations d'Aviateur, c'est à dire avec histoire de pas se paumer d'un post à l'autre entre les différentes notations. . .

[YounesLahouiti]

Ah oui c'est vrai , on simplifie par 2 , j'avais oublié !

[YounesLahouiti]

Αlors en fin de compte, j'en ai parlé à mon professeur , il m'a dit que peu importe ma démarche , si j'arrive à trouver φ , c'est bon.

Il m'a un peu aidé et il repris le début l'exemple de Ben314

Donc j'ai changé mon idée .

Après avoir essayé de résoudre ce problème en utilisant ta démarche ,
J'en suis resté un peu coincé et je suis sur et certain de m'être trompé quelque part...

φ^21 = φ × φ^20 = φ (19φ+1) = 20φ+1 = ?

Merci d'avance pour vos réponses

[aviateur]

Surement pas. D'ailleurs as-tu bien lu "pour aller + vite"
Tu as
dc

dc tu continues avec
puis

Puis \phi^{20}=\phi^{16}*\phi^{4}....

[triumph59]

Bonsoir,

Les impressions sont parfois trompeuses !

Bonsoir,

Je te laisse calculer et tu verras que le résultat n'est pas égal à

Merci de faire le calcul et d'indiquer ton résultat ...

[triumph59]

L'énoncé de ton DM contient uniquement cette question ?

[YounesLahouiti]

Oui , c'est tout ce qu'il y a

[aviateur]

Je te laisse calculer et tu verras que le résultat n'est pas égal à

C'est gentil mais c'est déjà fait!
Et puis
, ça fait il saura le faire:
Par contre qu'est ce que tu attends comme autre question? la construction du pentagone à la règle et au compas, le calcul de ?

[Ben314]

Moi, comme "autre question" (et toujours sans la moindre indication), je verrais bien "montrer que est quasiment un nombre entier"

[YounesLahouiti]

Absolument rien d'autre , faut juste calculer la valeur exacte de φ^21

J'en suis arrivé à dire que φ^20=(φ^10)^2

[triumph59]

Je te laisse calculer et tu verras que le résultat n'est pas égal à

C'est gentil mais c'est déjà fait!
Et puis
, ça fait il saura le faire:
Par contre qu'est ce que tu attends comme autre question? la construction du pentagone à la règle et au compas, le calcul de ?

Le but de ma remarque est de montrer que

En effet si on se limite aux premiers éléments,


et je crois que Younes a l'idée en tête que
mais on s'aperçoit que

[triumph59]

Moi, comme "autre question" (et toujours sans la moindre indication), je verrais bien "montrer que est quasiment un nombre entier"

Dommage de ne pas parler du nombre d'or ou de la suite de Fibonacci

[triumph59]

Bonsoir,

Pourquoi n'essaies-tu pas de suivre les conseils d'aviateur


ou


il y a toujours un moment où il faut se lancer dans les calculs ...