DM de mathématiques 1ere ES sur les suites

[superglue]

Bonjour.

J'ai un exercice de mathématiques à faire dans le cadre de d'un DM sur les suites mais je rencontre des difficultés, surtout sur la dernière question :

Exercice :

On considère un triangle équilatéral P(0) de côté 1. Chaque côté est ensuite divisé en trois parties égales et on construit sur le segment du milieu de chacun des côtés un nouveau triangle équilatéral à l’extérieur de P(0). On obtient ainsi le polygone P(1).
En procédant de la même façon avec le polygone P(1) on obtient le polygone P(2), puis en réitérant le processus on construit une suite de polygone P(n).

On note c(n) le nombre de côtés de P(n), l(n) la longueur de chaque côté, p(n) son périmètre et a(n) son aire.

1) Calculer c(0), l(0), p(0), a(0), c(1), l(1), p(1), a(1) puis c(2), l(2), p(2) et a(2).
2) Exprimer c(n+1) en fonction de c(n). En déduire l'expression de C(n) en fonction de n.
3) Exprimer l(n+1) en fonction de l(n). En déduire l'expression de l(n) en fonction de n.
4) En déduire l’expression de p(n) en fonction de n.
5) Exprimer a(n+1) en fonction de a(n). A l'aide de la calculatrice, donner une valeur de a(8) arrondie au centième.

Une note indique que : _ si U(n+1) = U(n)+r alors U(n) = U(0)+nr
_ si U(n+1) = U(n)*q alors U(n) = U(0)*q^n

Et voilà où j'en suis :

1) On calcule :

c(0) = 3

l(0) = 1

p(0) = 3

a(0) = (racine carrée de 3)/4*1^2
= (racine carrée de 3)/4

c(1) = 3*4
= 12

l(1) = 1*(1/3)
= 1/3

p(1) = c(1)*l(1)
= 12*(1/3)

a(1) = a(0)+((racine carrée de 3)/4)*l(1)^2
= ((racine carrée de 3)/4)+((racine carrée de 3)/4)*(1/3)^2
= (racine carrée de 3)/4)*1+(1/3)^2
= ((racine carrée de 3)/4)*(10/9)

c(2) = c(1)*4
= 12*4
= 48

l(2) = l(1)*(1/3)
= (1/3)*(1/3)
= (1/3)^2
= (1/9)

p(2) = c(2)*l(2)
= 48*(1/3)^2
= 16/3

a(2) = a(1)+((racine carrée 3)/4)*l(2)^2
= [((racine carrée de 3)/4)]*(10/9)]+[(racine carrée 3)/4*((1/9)^2)]
= (racine carrée de 3)/4*[(10/9)+(1/9)^2]
= (racine carrée de 3)/4*(91/81)

2) On sait que : c(0) = 3
Donc :

c(0) = 3
c(n+1) = c(n)*4

On déduit l'expression de c(n) en fonction de n grâce à la note U(n+1) = U(n)*q si U(n) = U(0)*q^n :

c(n) = c(0)*4^n
= 3*4^n

3) On exprime l(n+1) en fonction de l(n) sachant que l(0)=1 :

l(0) = 1
l(n+1) = l(n)*(1/3)

On déduit l'expression de l(n) en fonction de n grâce à la note U(n+1) = U(n)*q si U(n) = U(0)*q^n :

l(n) = l(0)*(1/3)^n
= 1*(1/3)^n
= (1/3)^n

4) On déduit l'expression de p(n) en fonction de n, sachant que c(n) = 3*4^n et l(n) = (1/3)^n :

p(n) = c(n)*l(n)
= 3*4^n*(1/3)^n
= 3*(4/3)^n

5) On exprime a(n+1) en fonction de a(n) sachant que a(0) = (racine carrée 3)/4.

a(0) = (racine carrée 3)/4
a(n+1) = a(n)+((1/3)^n)^2

On entre la suite a(n) dans la calculatrice et on trouve a(8) = 0,49 environ.

Voilà. Mon principal problème est donc la question 5 car je ne suis pas sûr d'avoir trouvé la bonne formule, pourtant je ne vois pas d'autre solution. Une recherche sur internet m'a apprise que ce problème relevait du flocon de von Kosh. Or je suis tombé sur des formules toutes différentes que je n'ai pas comprises, mais je pense avoir réussit le reste (si ce n'est pas le cas n'hésitez pas à me le faire remarquer ça m'aidera à avancer).
Je m'étonne aussi de ne pas avoir utilisé la propriété U(n+1)=U(n)+r <=> U(0)*q(n). Si on nous la donne je suppose que c'est pour qu'elle serve.
Je suis donc un peu perdu.

Quelqu'un peut-il éclairer ma lanterne, je lui en serai très reconnaissant.

Merci par avance aux âmes charitables.

[nodjim]

Quelle formule as tu trouvé pour a(n+1)-a(n) ?
Donne au passage les autres expressions que tu as trouvées, c'est à dire les c(n+1) p(n+1) l'n+1) en fonction de c(n) p(n) et l(n).

[nodjim]

En fait a(n+1)-an=(V3/12)*(4/9)^n

[superglue]

Excusez moi mais je ne vois pas en quoi rechercher la formule de a(n+1)-a(n) m'aidera à trouver la formule de a(n+1). D'ailleurs je ne vois pas trop comment trouver a(n+1)-a(n) si je ne connais justement pas la formule de a(n+1).

Quant-aux autres formules j'ai trouvé :

c(0) = 3
c(n+1) = c(n)*4

Donc : c(n) = 3*4^n

l(0) = 1
l(n+1) = l(n)*(1/3)

Donc : l(n) = 1*(1/3)^n
= (1/3)^n

et : p(n) = c(n)*l(n)
= 3*4^n*(1/3)^n
= 3*(4/3)^n

Excusez moi encore, mais je ne comprend pas la formule de votre dernier post, ni comment l'exploiter dans le cadre de mon problème.

[nodjim]

En fait
a(n+1)=c(n)*(l(n)/3)²*V3/4 +an.
Après tu remplaces c(n) et l(n) par les expressions générales que tu as trouvées (celles ci sont correctes).

[superglue]

En fait
a(n+1)=c(n)*(l(n)/3)²*V3/4 +an.
Après tu remplaces c(n) et l(n) par les expressions générales que tu as trouvées (celles ci sont correctes).

Merci pour la formule, par contre je ne comprend pas la première partie : c(n)*(l(n)/3)². J'ai plusieurs problèmes à vrai dire. Déjà je ne comprend pas pourquoi le nombre de côtés entre en jeu dans le calcul de l'aire de la figure. Ensuite je ne comprend pas pourquoi diviser l(n) par 3. Enfin, est ce que l'expression se calcule à l'aide de c(n) et l(n) ou de c(n+1) et l(n+1) ? Je ne suis pas très clair sur ce coup là mais en gros ma question est : est-ce que a(1) = c(0)*(l(0)/3)²*V3/4 +a(0) ou a(1) = c(1)*(l(1)/3)²*V3/4 +a(0) ?

Pourriez vous m'expliquer s'il vous plait ? J'ai encore un peu de mal à comprendre.

[nodjim]

Tu as la figure géométrique d'indice n. Le nombre de cotés est c(n) et la longueur de chaque coté est l(n). A l'indice n+1, Tu vas ajouter un triangle à chaque coté, et chacun de ces triangles aura pour longueur l(n)/3. Il y aura donc c(n) triangles équlatéraux ajoutés, chacun de longueur l(n)/3 et donc d'aire (l(n)/3)²*(V3/4).
c(n)*(l(n)/3)²*(V3/4) représente donc l'ajout à l'aire an pour arriver à a(n+1).
OK ?

[superglue]

Donc si je comprend bien, pour trouver a(8) comme me le demande l'exercice je dois résoudre
a(8) = c(7)*(l(7)/3)^2*(V3/4)+a(n) ? Est-ce que cela ne revient pas à calculer c(7)*l(8)^2*(V3/4)+a(n) ?

Je suis toujours un peu perdu avec ces n et n+1.