Mathématique Terminal S

[Iaso]

Exercice : Les organisateurs d’un tournoi de tennis en double reçoivent les inscriptions de 2n joueurs. Ils
peuvent s’amuser à former les équipes (de deux joueurs) à leur gré. Combien de choix ont-ils ?

Mon raisonnement :

n=2 2×2=4 joueurs avec 4 j on peut former 6 équipes
Mais pour le tournoi de tennis les 6 équipes ne sont pas toutes valables car, 2 équipes avec un même joueur ne peuvent pas s'affronter . Alors dans les 6 équipes que 3 équipes sont valables pour le tournoi.

Donc pour :
n=3 2×3=6j -> 15 équipes-> 6 équipes valables
n=4 2×4=8j -> 28 équipes -> 8équipes valables
Etc...

J'ai déduit une formule pour trouver les équipes si comme avant je utilisait un schéma : (2n-1)
Pour n=3
(2n-1)=(2×3-1)+(2×3-2)+(2×3-3)+(2×3-4)+(2×3-5)
=5+4+3+2+1+0
=15 équipes
Mais on obtient que les équipes totales.

2n
L un d'être eux choisi son partenaire d'équipe donc il reste 2n-1 joueurs
Parmi les joueurs restants, un autre joueurs choisi son binôme donc on a 2n-1-2 = 2n-3 j. restants
Un autre joueurs choisi son binôme parmi les joueurs restants donc on a 2n-3-2 = 2n-5 j. restants
Etc..
Ces des chiffres impairs.

Un=2n
U0=0
U1=2
U2=4
U3=6
....
U(n+1)=2(n+1)×Un


Un=(2n-1)×U(n-1)
=(2n-1)×(2(n-1)-1)×Un-2
=(2n-1)×(2n-3)×Un-2
=(2n-1)×(2n-3)×(2(n-2)-1)×Un-3
=....
Un=(2n-1)×(2n-3)×(2n-5)×...×U1 (où 1)

Est-ce que c'est juste et comment démontrer tout ça par récurrence.
Merci

[Ben314]

Salut,

Donc pour :
n=3 2×3=6j -> 15 équipes-> 6 équipes valables
n=4 2×4=8j -> 28 équipes -> 8équipes valables
Etc...

Je comprend pas ton raisonnement : vu les résultats que tu donne (6 ; 15 et 28), je pense que la notion de "nombre d'équipe", ça correspond à regarder le nombre de façon de choisir deux joueurs parmi les 2n joueurs [et il y a 2n(2n-1)/2 = n(2n-1) possibilités], mais par contre, je ne vois pas ce que ça peut être que le "nombre d'équipes valable".

Concernant la suite :

U(n+1)=2(n+1)×Un
Un=(2n-1)×U(n-1)

je comprend toujours pas très bien le raisonnement, mais le truc en rouge est faux [ce qui est vrai, c'est que U(n+1)=(2n+1)×Un] mais le truc en bleu est vrai.
Et une façon de montrer que c'est vrai, c'est ce qui semple être ton argument (mais c'est tout sauf clair...) : si on a 2n joueur, on en choisi un une bonne fois pour toute (celui qui a le numéro "un" y'a qu'à dire) puis on choisi son adversaire parmi les 2n-1 restant et y'a plus qu'à regarder combien on peut faire d'équipe avec les 2n-2 restant qui est égal à u(n-1) [par définition de U(n)].

Sinon, ton résultat final pour U(n) est correct : c'est bien (2n-1)x(2n-3)x...x5x3x1 qu'on peut éventuellement écrire sans points de suspension et avec des factorielles (et là, on peut à la rigueur voire une autre méthode plus directe pour obtenir le résultat).

[Iaso]

Merci pour la correction.

Les équipes valables ce sont des binôme de joueurs de tennis qui peuvent s affronter . Exemple : n=2 2×2=4

1 2 3 4
(1;2) (2;3) (3:4)
(1;3) (2;4)
(1;4)

On a 6 équipes mais pour le tournoi de tennis que 3 équipes peuvent s affronter
Ex: (1;2) vs (2;3) ces pas possible car ils ont en commun le joueurs 2
(1;3) vs (2;4) ici les deux groupes peuvent s'affronter.

Maintenant pour la récurrence :

Base: P(1)
U1: 2×1-1=1
P(n) est vrai

Hérédité : On suppose P(n) vrai pour un certain n.
( on doit démontrer que pour tout entier naturel n
Un: (2n-1)×(2n-3)×(2n-5)×...-U1 ( où 1) )
Sens utilisé les factotielles car on les a jamais utilisé
Comment faire ????