Mathématique exercice "le professeur d'arthur"

[nounou0002]

bonjour.
J'aurai besoin d'aide pour cet exercice.
J'ai pas mal de difficultés pour comprendre le cours en ce moment, et, du coup, je ne sais pas du tout comment m'y prendre ...
merci d'avance.


soit (O; I;J) un repère orthonormé du plan.
On note Ck l'ensemble des points M(x;y) dont les coordonnées vérifient :
x² + y² - 2kx + (2k-10)y - k² - 11k + 22 =0

1) démontrer que pour tout réel k l'ensemble Ck est un cercle dont on précisera le rayon rk et le centre Ok en fonction de k.

2) A quel ensemble de point appartient le point Ok lorsque décrit l'ensemble des réels ?

[chan79]

salut
(x²-2kx) est le début du développement du carré (x-k)²
Ca devrait t'aider

[nounou0002]

super merci, viens de réussir la première question
par contre, je vois pas trop pour la deuxième ...

[aymanemaysae]

Bonjour ;


On a : .

En réarrangeant cette expression , on obtient : .

On a :
et

Complète cette première partie ; On verra pour la suite si tu as encore besoin d'aide .

[aymanemaysae]

Je viens de voir que tu as fait la première question : peux -tu donner les résultats que tu as trouvés , juste pour comparer .

[nounou0002]

jai trouvé : (x-k) ² et (y+ (k-5))²
c'est bien ça ?

après, j avais conclu avec le centre du cercle est (k; -(k-5)) et son rayon racine carré de -3k²-21k-3

est ce que c'est ça ?

[aymanemaysae]

C'est bien pour le centre du cercle , mais pour le rayon j'ai trouvé : .

Vérification :





.

[nounou0002]

ok , merci , (j'avais surement fait une erreur quelques part alors...)
du coup, pour le 2, je fais comment ?

[nounou0002]

d'ailleurs dans mes calculs j'ai : (sans réécrire tout...) "... ... ( k - 5 ) ...."
alors que vous avez "..... ( 5 - k ) ... " ?

[aymanemaysae]

Bonjour ;


On a : .

En réarrangeant cette expression , on obtient : .

On a : ; on ajoute et on retranche pour faire apparaitre l'identité remarquable , donc on a : .


De même , on a : ; on ajoute et on retranche pour faire apparaitre l'identité remarquable
, donc on a : .

En revenant à l'expression qu'on a obtenu après réarrangement , on a :








.

Avant de continuer , étudions le signe de l'expression : pour .
Le discriminant de cette expression est : , donc le trinôme étudié ne s'annule jamais et est du signe de son coefficient de second degré qui est ; donc pour tout appartenant à , , donc on a : .

Revenons maintenant à notre expression . On a :


.

Conclusion :
Notre expression est l'équation d'un cercle de centre et de rayon .


Pour la deuxième question , tu as donc l'abscisse de ce point est : et son ordonnée est ; donc les points décrivent la droite d'équation réduite : quand décrit .