[Terminale S] DM de math

[Raul10]

Bonjour à tous !

Je poste sur ce forum car je rencontre un problème par rapport à une question du DM que je dois faire. Sans plus attendre, je vous poste l'énoncé :

"Soit l'équation d'inconnue x : (m-1)x² - 4mx + m -6 = 0, ou m est un réel

Déterminez m pour que l'équation admette deux solutions de signes opposés".

Voila, je bloque et je ne vois vraiment pas comment faire pour réussir.

Je vous remercie d'avance pour votre aide.

[Liouan]

première condition nécessaire: il faut que ton équation ait deux solutions

pour ça, il faut que ton discriminant soit positif strictement

donc tu calcules ton discriminant en fonction de m
tu étudies la fonction pour savoir pour quelles valeurs de m ce discriminant est positif

ensuite, tu exprimes les deux racines de ton polynome et tu regardes pour quelles valeurs de m ces solutions sont de signe opposé.

pour ça, le plus simple:
soit x1 et x2 tes deux solutions (qui dépendent de m)
tu calcules x1*x2
les deux solutions sont de signe opposé <=> x1*x2 < 0

donc tu cherches pour quelles valeurs de m x1*x2 <0

[Raul10]

première condition nécessaire: il faut que ton équation ait deux solutions

pour ça, il faut que ton discriminant soit positif strictement

donc tu calcules ton discriminant en fonction de m
tu étudies la fonction pour savoir pour quelles valeurs de m ce discriminant est positif

ensuite, tu exprimes les deux racines de ton polynome et tu regardes pour quelles valeurs de m ces solutions sont de signe opposé.

pour ça, le plus simple:
soit x1 et x2 tes deux solutions (qui dépendent de m)
tu calcules x1*x2
les deux solutions sont de signe opposé x1*x2 < 0

donc tu cherches pour quelles valeurs de m x1*x2 <0

Ok, déjà j'ai cherché les valeurs pour que le discriminant soit positif, ce qui donne que m doit appartenir à l'interval ]-infini ; -3[ U ] 2/3 ; +infini[

Ensuite, les deux racines du polynome sont -3 et 2/3

Mais ensuite, désolé, je n'ai pas compris ce que tu pouvais dire.

[Liouan]

vu que tu as trouvé le bon intervalle pour avoir 2 racines, je suppose que tu as bien trouvé que ton discriminant valait:

12m²+28m-24

donc ton polynome de départ a deux racines:

x1= (4m+rac(12m²+28m-24))/(2(m-1))
x2= (4m-rac(12m²+28m-24))/(2(m-1))

maintenant tu dois trouver les valeurs de m qui sont telles que x1 et x2 soient de signes différent (avec m qui appartient toujours a
]-infini ; -3[ U ] 2/3 ; +infini[)

alors soit tu cherches le signe de x1, le signe de x2 et tu regardes quand leur signe est différent mais c'est tres maladroit

tu utilises le résultat suivant:
x1 et x2 de signe différent <=> x1*x2 <0

tu calcules x1*x2 (oui.... je sais.... c'est moche... bah.... ouais....)
meuh non, c'est pas moche :)

regarde:
(4m+rac(12m²+28m-24))/(2(m-1)) * (4m-rac(12m²+28m-24))/(2(m-1))=

[(4m+rac(12m²+28m-24))*(4m-rac(12m²+28m-24))]/(2(m-1))²

comme ce qui t'intéresse, c'est le signe de ce truc et que (2(m-1))² >0, tu le vires

tu cherches juste le signe de

(4m+rac(12m²+28m-24))*(4m-rac(12m²+28m-24))

on reconnait (a+b)*(a-b), on simplifie

=16m²-(12m²+28m-24)
=4m²-28m+24
c'est plus joli quand meme:)

et tu cherches quand est ce que
4m²-28m+24<0 <=>
m²-7m+6<0

tout en respectant m appartient à ]-infini ; -3[ U ] 2/3 ; +infini[

[Raul10]

OK merci beaucoup !

[Raul10]

Voici l'intervalle final que je trouve, dis moi si c'est ça :

]-infinis ; -3[ U ] 6 ; +infinis[

Voila, merci encore pour ton aide !

[Liouan]

pas exactement:

m²-7m+6<0 <=> m € (]1;6[)
Or, on a la contrainte que m € ]-inf;-3[U]2/3;+inf[

=> m appartient à l'intersection de ces deux ensembles soit

]2/3;6[