DM de math sur les vecteurs dans l'espace

[Alex6589]

Bonjour, j'ai un DM à faire et j'aurai besoin d'aide :

Sur le tétraèdre ABCD :
• I est le milieu du segment [BC];
• A' est le centre de gravité du triangle BCD;
•G est le milieu du segment [AA'];
•E est le point tel que vecteur AE = 2/5 vecteur AI

On souhaite démontrer que les points D,G et E sont alignés.

1) Exprimer le vecteur DE en fonction des vecteurs DA et DI

2) Justifier que vecteur DG=1/2vecDA+1/3vecDI

3) Résoudre le problèmes

J'ai répondu à la question 1 mais je bloque pour la 2 et la 3. Merci pour votre aide.
Cordialement

[Alex6589]

Je pense avoir besoin de la réponse 2 pour resoudre le problème

[pascal16]

DG=1/2vecDA+1/3vecDI

On peut utiliser Thalles pour nous aider
DG=
on veut faire apparaître DA, on y va
DG= DA+AG
G est caractérisé comme milieu de [AA']
DG= DA+(1/2)AA'
ensuite A' est centre de gravité de la face BCD, donc DA'=(2/3)DI
mais il nous faut du DA'
DG= DA+(1/2)(AD+DA')
mais DA'=(2/3)DI
....

[Alex6589]

Mais comment j'arrive à VecDG=1/2DA+1/3DI ?

[aviateur]

Bonjour
A mon avis le calcul doit être uniquement vectoriel.

D'autre part c'est un peu idiot de passer par 1 et 2 pour faire 3, autant faire 3 directement sans aide. Donc je ne fais pas 1 et 2 je le laisse en exo vu qu'on peut avoir 1 et 2 directo comme je le fais pour 3.

Les hypothèses sont


La question c'est montrer que D,G et E sont alignés; ce qui est équivalent à montrer que G-D=z(E-D) pour un certain réel z.
On calcule G-D (bien sûr en fonction de A,B,C,D (il suffit de remplacer I,G, E par leurs valeurs données dans les hypothèses) on trouve



On voit que cqfd

[pascal16]

DG= DA+(1/2)(AD+DA')
mais DA'=(2/3)DI

soit DG= DA+(1/2)(AD+(2/3)DI)
DG= DA+(1/2)AD +(1/2)*(2/3)DI
or DA=-AD
DG= DA-(1/2)DA +(1/3)DI
DG= (1/2)DA +(1/3)DI

[Alex6589]

Merci beaucoup, donc pour pouvoir répondre au problème je dois trouvée un rapport de proportionnalité entre les vecteurs DE et DG afin de voir s'ils sont colinéaires et donc alignés ?

[pascal16]

oui, et tu peux vérifier ce rapport avec le post d'aviateur

[Alex6589]

Très bien, merci