Math 2nde URGENT DM

[Mickey971]

Bonjour
Je galère sur cet exercice que je ne comprends pas :
Déterminer un encadrement décimal d amplitude 10(-9) Du nombre irrationnel ( racine carrée de 351)
AVEC la consigne qui est de rédiger les différentes étapes de la recherche , sans omettre les fausses pistes et les changements de méthode.
Merci bcp pour votre aide

[Black Jack]

Une méthode ... parmi d'autres.

Mais pas sûr qu'elle soit accessible au Lycée.

351 = 3³ * 13

V351 = 3 * V39

V351 = 3 * 6 * V(39/36)

V351 = 3 * 6 * V(13/12)

(1/2) * ((1/2)-1)*((1/2) - n + 1)/n! * (1/12)^n * V(1 + 1/12)

Développement de V(1+x) pour |x| <= 1 : = 1 + (1/2)*(1/2 - 1) * x²/2! + ... + [(1/2)*(1/2 - 1)*...*(1/2 - n + 1)]/n! * x^n + o(x^n)

Cette suite est alternée et convergente et donc l'erreur faite en négligeant les termes à partir d'un certain rang est <= en valeur absolue au 1er terme négligé et est du signe du premier terme négligé.

|[(1/2)*(1/2 - 1)*...*(1/2 - n + 1)]/n!| <= 10^-9 /18

--> n = 8 , on peut donc négliger les termes pour n >= 8, le 1er terme négligé entrainera une erreur <= 429*(1/12)^8/32768 (5,48.10^-10)

V351 = 3 * 6 * (1 + (1/12)/2 - (1/12)²/8 + (1/12)³/16 - 5*(1/12)^4/128 + 7*(1/12)^5/256 - 21*(1/12)^6/1024 + 33*(1/12)^7/2048) ( à moins de 10^-9 près)

V351 = 18,73499399571 (erreur maximale = 1er terme négligé soit : - 5,48.10^-10 qui est < 0 et donc la valeur trouvée l'est par excès.)

[Mickey971]

Une méthode ... parmi d'autres.
Merci bcp mais en effet pour le lycée c est Wouah!
Mais pas sûr qu'elle soit accessible au Lycée.

351 = 3³ * 13

V351 = 3 * V39

V351 = 3 * 6 * V(39/36)

V351 = 3 * 6 * V(13/12)

(1/2) * ((1/2)-1)*((1/2) - n + 1)/n! * (1/12)^n * V(1 + 1/12)

Développement de V(1+x) pour |x| <= 1 : = 1 + (1/2)*(1/2 - 1) * x²/2! + ... + [(1/2)*(1/2 - 1)*...*(1/2 - n + 1)]/n! * x^n + o(x^n)

Cette suite est alternée et convergente et donc l'erreur faite en négligeant les termes à partir d'un certain rang est <= en valeur absolue au 1er terme négligé et est du signe du premier terme négligé.

|[(1/2)*(1/2 - 1)*...*(1/2 - n + 1)]/n!| <= 10^-9 /18

--> n = 8 , on peut donc négliger les termes pour n >= 8, le 1er terme négligé entrainera une erreur <= 429*(1/12)^8/32768 (5,48.10^-10)

V351 = 3 * 6 * (1 + (1/12)/2 - (1/12)²/8 + (1/12)³/16 - 5*(1/12)^4/128 + 7*(1/12)^5/256 - 21*(1/12)^6/1024 + 33*(1/12)^7/2048) ( à moins de 10^-9 près)

V351 = 18,73499399571 (erreur maximale = 1er terme négligé soit : - 5,48.10^-10 qui est < 0 et donc la valeur trouvée l'est par excès.)