Majoration du n-ième nombre premier\récurrence

[Françoisdesantilles]

Bonjour et bonne année à tous,
j'envoi ce message car j'ai voulu utiliser une récurrences pour la question 1, et je voulais savoir si quelqu'un pouvait corrigé svp?


Pour , on note le -ième nombre premier (par exemple , .
1. Soit n un entier supérieur ou égal à 2 .

Démontrer que :



1)j'ai voulu utiliser une récurrence).
2. a. En déduire que pour tout entier ,



b. Démontrer par récurrence que, pour tout.
Voici ce que j'ai pû écrire :
Je pense qu'on peut utiliser une récurrence :
1) initialisation: On vérifie que la propriété est vraie pour n=2.
; donc ça marche
2) Hérédité'.

On suppose que pour tout k
, : k= ; (k>2 )
ce qui implique:



3) Conclusion:


On Remarque que





Montrons que


En d'autres termes montrons que .

On remarque que ; ,().
Je n'ai pas pu conclure

[Ben314]

Salut,
Bon, déjà un truc qu'il faut absolument comprendre, c'est que le principe de récurrence, ça ne consiste bien évidement pas à supposer que la propriété est raie pour tout k vu que sinon, je vois pas trop ce qu'il resterais à démontrer.
On suppose que c'est vrai pour UN entier k et on va essayer de montrer que c'est vrai pour LE entier suivant.

Avec des quantificateurs, ce qu'il faut démontrer dans l'hérédité d'une récurrence, c'est que :

Et ça n'a rien à voir avec qui est une trivialité systématiquement vrai (donc sans aucun intérêt).

Et la suite de la récurrence, c'est un peu moins une énormité, mais tu n'arrivera à rien avec ce type d'idée vu que le dans tu sait absolument pas qui c'est.

Bref, la méthode attendue n'est absolument pas une récurrence mais une observation "bébète" :
Le nombre admet évidement au moins un diviseur premier (vu qu'il est décomposable en produit de nombres premiers). Que peut-on dire de ? (deux choses)

[Françoisdesantilles]

pl divise donc pl divise .
Bon la honte j'ai insisté pour la récurrence malgré ils ont proposé une autre méthode,merci Ben si ma réponse n'est pas bonne je vais y réfléchir encore un peu, bonne année à toi au passage[/quote]

[Ben314]

Je t'ai peut-être "mis dedans" en appelant, dès le début, le diviseur premier de .
Par ce que, justement, vu sa forme, n'est surement pas divisible ni par , ni par , . . . , ni par donc ce n'est aucun de ces premiers là ce qui signifie que , au minimum, c'est (le plus petit qui n'est pas dans la liste).

Bonne année à toi aussi.