Enoncé:
On considère un carré ABCD de côté 10 cm.
Sur la coté [AB], on place un point L.
On pose AL = x (en cm) et on place sur [DA] un point P tel que DP = x cm.
On construit alors le triangle LCP.
Le but est de déterminer s'il existe un triangle LCP d'aire minimale et si oui lequel.
On appelle f la fonction qui à tout x de [0 ; 10] associe l'aire de LCP.
1.a. Exprimer en fonction de x les longueurs des segments AL, BL, DP, puis AP.
b. Exprimer en fonction de x les aires des triangles ALP, LBC et CDP.
c. En déduire que f(x) = 1/2(x-5)²+75/2
2.a. Justifer que pour tout x de [0;10], f(x) supérieur ou égal à 37,5 ?
c. Existe-til un triangle d'aire minimale ?
Si oui, préciser les positions L et P.
Suite:
Résultat préliminaire:
On admet que si le point F appartient à la bissectrice de l'angle ^(uAv), alors AP=AQ.
-Le triangle ABC est rectangle en A. On a tracé son cercle inscrit de centre I et de rayon r.
J'ai oublié dans mon shéma de faire un cercle, ce cercle est de centre I passant par P, R et Q.
Questions:
1. Quelle est la nature de ce quadrilatère RIPA ?
2.a. On note b la longueur CA. Exprimer en fonction de b et de r la longueur CR.
b. On note le même c la longueur AB.Exprimer en fonction de c et de r la longueur BP.
c.On désigne par a la longueur du segment [BC]. Justifier que a = (b-r)+(c-r).
En déduire que b+c-a=2r (relation 1)
4.a.Quelle est l'aire A(ABC) du triangle ABCen fonction de b et c ?
b. Exprimer les aires A(AIB), A (BIC) et A(AIC) des triangles AIB, BIC et AIC
A l'aide des deux questions précédentes, montrer que b+c+a= br/r (relation2)
5. A l'aide des relations 1 et 2, montrer que (b+c)²-a²=2bc
6. Conclure