La magtingale de d'Alembert

[berengere]

Bonjour, alors voilà, j'ai un petit problème sur un sujet de maths, et je ne sais pas du tout comment l'aborder... j'espère que vous pourrez m'aider, merci d'avance ! (:


1. Dans un jeu de pile ou face où l'on gagne le double de la mise sur pile et où l'on perd la mise sur face, un joueur qui dispose de mille euros commence par jouer un euro, double sa mise tant qu'il perd et ne s'arrête que s'il gagne ou ne peut plus miser. Simuler ce jeu, puis calculer l'espérance du gain du joueur.

2. Dans un jeu de pile ou face où l'on gagne le double de la mise sur pile et où l'on perd la mise sur face, un joueur qui dispose de mille euros commence par jouer un euro, triple sa mise tant qu'il perd et ne s'arrête que s'il gagne ou ne peut plus miser. Simuler ce jeu, puis calculer l'espérance du gain du joueur.

[Robic]

Bonjour ! Est-ce que tu as fait un arbre ? Vu que le joueur s'arrête dès qu'il gagne, l'arbre n'est pas compliqué à faire et je crois qu'il contient toutes les informations nécessaires.

[berengere]

Bonjour ! Est-ce que tu as fait un arbre ? Vu que le joueur s'arrête dès qu'il gagne, l'arbre n'est pas compliqué à faire et je crois qu'il contient toutes les informations nécessaires.

Non, je n'en ai pas fait, parce que la pièce est équilibrée (enfin c'est sous-entendu) et il y a une chance sur deux pour que le joueur continu à chaque fois, du coup l'arbre serait quand même très long (jusqu'à ce qu'il ne puisse plus miser en fin de compte) , non ?

[paquito]

Supposons que le joueur perde n fois avant de gagner;son "gain" sera -1-2-2²-....-2^(n-1)+2^(n+1)=
-(2^n-1)+2^(n+1)=2^n(2-1)+1=2^n+1.
le joueur ne peut plus miser que si 2^n>2000, soit n>=10. 2000-2^10=2000-1024=976

De plus, la probabilité de perdre n fois vaut (1/2)^n .
L'espérance mathématique sera: 2+3/2+5/4+9/8+............+(2^10+1)/2^10-1024/2^11.

[Ben314]

Non, je n'en ai pas fait, parce que la pièce est équilibrée (enfin c'est sous-entendu) et il y a une chance sur deux pour que le joueur continu à chaque fois, du coup l'arbre serait quand même très long (jusqu'à ce qu'il ne puisse plus miser en fin de compte) , non ?

Ben à mon avis, c'est quand même un des premiers truc à faire dans cet exercice : regarder si, en partant d'un euro et en misant le double à chaque fois, ça va durrer longtemps ou pas...
Si ça dure pas trop longtemps, un arbre complet, c'est pas mal.
Si c'est trop long, on peut quand même faire le début de l'arbre et la fin (avec des points de suspension entre) : ça aide à comprendre.

P.S. Ici, c'est quand même pas super long, surtout pour la 2em question...

[Ben314]

Supposons que le joueur perde n fois avant de gagner;son "gain" sera -1-2-2²-....-2^(n-1)+2^(n+1)=
-(2^n-1)+2^(n+1)=2^n(2-1)+1=2^n+1.

Y'a une erreur sur le gain : c'est un euro de gain systématiquement.

Si tu compte que, quand il gagne son gain est de , ça veut dire que dans les négatif, il faut aussi mettre sa mise à cette étape là, c'est à dire

[berengere]

Ben à mon avis, c'est quand même un des premiers truc à faire dans cet exercice : regarder si, en partant d'un euro et en misant le double à chaque fois, ça va durrer longtemps ou pas...
Si ça dure pas trop longtemps, un arbre complet, c'est pas mal.
Si c'est trop long, on peut quand même faire le début de l'arbre et la fin (avec des points de suspension entre) : ça aide à comprendre.

P.S. Ici, c'est quand même pas super long, surtout pour la 2em question...

D'accord, je vais essayer faire ça alors !
Merci beaucoup pour ta réponse

[Robic]

J'ai fait l'arbre en entier. Comme je l'avais dit, c'est facile à faire (il faut me faire confiance ! :marteau: ). Mais en fait on voit très vite ce qui se passe et on peut même se contenter de faire juste le début et la fin. Un truc intéressant à regarder, notamment, c'est : s'il gagne au n-ème lancer, combien gagne-t-il ? combien a-t-il alors misé au total ? donc quel est son gain réel ? Ensuite, il faut déterminer tous les gains possible (il n'y en a pas tellement) et calculer la probabilité qui leur est associée (en utilisant l'arbre).

Je l'ai fait, je trouve une espérance nulle - pile poil ! Je ne m'y serais pas attendu...

[paquito]

Y'a une erreur sur le gain : c'est un euro de gain systématiquement.

Si tu compte que, quand il gagne son gain est de , ça veut dire que dans les négatif, il faut aussi mettre sa mise à cette étape là, c'est à dire

Bien sûr, j'ai oublié la dernière mise! évidemment ça change tout et il faut enlever 2^n, ce qui fait bien un gain égal à 1!
S'il perd n fois de suite il aura misé: 1+2+2²+....;+2^(n-1)=2^n-1 et 2^10=1024 donc ça fera une perte de 1023 et il lui restera 977 qui est insuffisant pour miser 2x2^9=1024 et le jeu s'arrête avec une perte de 1023=2^10-1.
Donc au pire, le joueur peut faire au plus de 0 à 9 "face" consécutifs avant de faire"pile pour gagner 1 €.
L'espérance mathématiques vaut donc: 1/2+(1/2)²+.......(1/2)^10-(2^10-1)/2^10=
(1/2)(1-(1/2)^10)/(1/2)-(1-(1/2)^10)=0.

[Ben314]

Je l'ai fait, je trouve une espérance nulle - pile poil ! Je ne m'y serais pas attendu...

C'est de l'humour ?
Parce que, sinon, c'est quand même un peu la "logique profonde" du calcul des proba : l'espérance sur un seul jeté de pièce est clairement nulle et en fait, ce que te prédit la théorie des proba, c'est que tu peut bien appliquer la martingale (finie) que tu veut, ça changera rien...
Donc la réponse à la deuxième question, ben c'est aussi E(X)=0 et à mon avis, l'exo est justement fait pour faire "sentir" ce résultat.

[Robic]

Non non, ce n'est pas de l'humour. En fait, j'ai un vague souvenir d'exercices de probabilités où l'on trouvait de "vraies" martingales, mais à condition de disposer d'une cagnotte infinie, mais dès qu'on limitait sa cagnotte, ça ne marchait plus (je crois même que l'espérance devenait négative mais le souvenir est flou). Et vu que, dans la vraie vie, dans les jeux d'argent l'espérance du joueur est toujours négative, je me serais attendu à une espérance négative.

(Ta réaction donne l'impression que tu croyais que je m'attendais à une espérance positive. Quand même pas ! :lol3: )

[paquito]

Quand j'étais jeune, j'ai essayé cette martingale au jeu de la boule (pair ou impair, le 5 étant exclus), mais la mise maximale était de 500 francs. J'ai rapidement perdu et je n'ai plus jamais essayé. Dans ce jeu l'espérance mathématique était négative de toutes façons puisque la probabilité de"pair" valait 4/9.
Il ne faut pas rêver! Déjà que le jeu proposé est équitable, ce qui n'est pas le cas dans les jeux de hasard proposés.

[berengere]

Bien sûr, j'ai oublié la dernière mise! évidemment ça change tout et il faut enlever 2^n, ce qui fait bien un gain égal à 1!
S'il perd n fois de suite il aura misé: 1+2+2²+....;+2^(n-1)=2^n-1 et 2^10=1024 donc ça fera une perte de 1023 et il lui restera 977 qui est insuffisant pour miser 2x2^9=1024 et le jeu s'arrête avec une perte de 1023=2^10-1.
Donc au pire, le joueur peut faire au plus de 0 à 9 "face" consécutifs avant de faire"pile pour gagner 1 €.
L'espérance mathématiques vaut donc: 1/2+(1/2)²+.......(1/2)^10-(2^10-1)/2^10=
(1/2)(1-(1/2)^10)/(1/2)-(1-(1/2)^10)=0.

Merci beaucoup ! J'ai mis un moment à saisir le raisonnement (les probas c'est pas claires du tout pour moi), mais je crois que cette fois c'est bon !