Lutte contre les inégalités dernière

[ifebo]

Bonjour

Une dernière sur ces inégalités qui me chiffonnent.....

on souhaite encadrer a²-b² à partir de
3 < a < 7
1 < b < 3
1. Encadrer a² puis b² en déduire a²-b²
2. encadrer a+b puis a-b en déduire a² -b²
3. expliquer

Rigoureusement:
1.
9< a²<49
1< b²<9
-9< -b²<-1
0< a² -b² < 48

2.
4< a+ b< 10
-3 < -b < -1
0 < a-b < 6
0 < (a+b)(a-b) < 60

3. les calculs sont justes ( à priori...) mais on ne trouve pas pareil...Y'a du jeu pourtant c'est serré au max à chaque étape....Pourquoi?

[Pseuda]

Bonjour,

A chaque fois qu'on additionne ou qu'on multiplie des inégalités, il y a une "perte d'information", on ne peut plus en général revenir aux inégalités initiales (comme dit @zygomatique, il n'y a pas réciprocité). Mais la perte est moins grande dans 1. que dans 2 : pour encadrer a²-b², il est préférable de faire d'abord le calcul isolément sur a et b. L'amplitude de l'écart est la plus grande quand a = 7 et b = 1, soit a²-b²=48, et la moins grande pour a=b=3 (ou très proches).

[FLBP]

Bonjour,

Pseuda, le problème est plus simple que ça, l'inéquation du 1 est correcte, contrairement à celle du 2.
Ici, l'astuce réside dans le fait que dans la partie 2, nous pouvons faire prendre à a et b des valeurs différentes dans (a+b) et (a-b), ce qui est totalement faux.

[Pseuda]

Les deux sont vraies (qui peut le plus peut le moins), on ne peut pas dire que la 2. est fausse, mais dans la 2. il y a une perte d'information sur a et b (un délayage) qui fait que l'infoemation est devenue imprécise. La 1. est d'ailleurs la meilleure possible. Bizarre quand même.

[FLBP]

Je me suis mal fait comprendre, dans la partie 2 la valeurs de b n'est pas la même dans (a+b) que dans (a-b) pour obtenir 60, ce qui est faux :

(7 + 3)(7 - 1) = 60 ...

[Pseuda]

Pourquoi ce serait faux ? b peut bien prendre ces 2 valeurs.

Bon je vois ce que tu veux dire, b ne peut pas les prendre simultanément, c'est ce qui fait l'incertitude plus grande, le délayage. Pas mal !

[zygomatique]

salut

il serait (très) intéressant de comparer et ... car ici il y a un moins ... qui ""foire"" tout !!

avec
avec





les résultats sont bien égaux ...

mais il n'y a pas équivalence entre les systèmes et

a + c = u
b + d = v
a - d = w
b - c = t

=>
a + b = u + t
b + a = v + w
c + d = u - w
d + c = v - t

pour avoir des solutions (et même une solution unique si on veut une équivalence) alors il est nécessaire que u + t = v + w et u - w = v - t

donc l'endomorphisme (a, b, c, d) --> (u, v, w, t) n'est pas bijectif et il n'y a pas équivalence ...

puisqu'un choix quelconque de (u, v, w, t) ne conduit pas forcément à une solution unique de (a, b, c, d) ...


il serait (très) intéressant de comparer et ... car ici il y a un moins ... qui ""foire"" tout !!

il serait très intéressant de résoudre proprement le système ...

[danyL]

Je me suis mal fait comprendre, dans la partie 2 la valeurs de b n'est pas la même dans (a+b) que dans (a-b) pour obtenir 60, ce qui est faux :

(7 + 3)(7 - 1) = 60 ...

bonsoir FLBP
je ne vois pas pourquoi b aurait 2 valeurs différentes simultanément
pour moi calculer (7 + 3)(7 - 1) n'a pas de sens

[FLBP]

Il s'agit en fait d'une histoire de minimum et de maximum, quand on fait opérer deux inéquations ensemble, on fera en sorte de borner avec les cas où l'opération est minimum et maximum, dans le cas ou les deux inéquations sont dépendante de mêmes variables, rien ne garantie que dans les deux expressions ces variables soient égales.
Comme exemple, pour faciliter le problème je prendrai le cas où les inégalités ne sont pas au sens strict :






Multiplier deux inéquations impliquant les mêmes variables c'est comme dire, je veux que :
et
Ce qui conformément au deux inéquations ci-dessus semble correcte.

En additionnant les deux équations on obtient que :



C'est faux, car on prend une fois b maximum et une fois minimum (dû au changement de signe) ...

[danyL]

Multiplier deux inéquations impliquant les mêmes variables c'est comme dire, je veux que :
et

dsl je ne vois pas le lien entre cette phrase et les inéquations précédentes
mais c'est pas grave, je vais y réfléchir

[ifebo]

Merci à tous pour ces réponses.

J'attends de grandir un peu en maths pour me faire mon opinion....puisque la question semble diviser....Chaque réponse est intéressante en tout cas.

[zygomatique]

j'ai pourtant proposé un moyen de comprendre ...






et et



ho super on trouve la même chose ...

ce que dit FLBP est très simple : les valeurs de a et b qui permettent d'obtenir le minimum de a + b et de a - b ne sont pas les même pour b : pour a + b on prend le minimum de a et le minimum de b mais pour a - b on prend le minimum de a et le maximum de b !!!