Lunules d'Hippocrate

[O.Z]

On a construit des demi-cercles ayant pour diamètre les trois côtés a, b et c d'un triangle rectangle. Démontrer que la somme des aires des parties hachurees est égale à l'aire du triangle rectangle coloré.



J'ai besoin d'aide.

Merci

[c pi]

Bonsoir

L'aire des deux lunules hachurées est égale à
la somme des aires du triangle rectangle,
du demi-disque de diamètre a
et du demi-disque de diamètre b
diminuée de l'aire du demi-disque de diamètre c.

En utilisant les formules de l'aire du triangle rectangle et du disque,
on peut exprimer cette aire des deux lunules hachurées
en fonction de a, de b et de c.

En utilisant la relation de Pythagore appliquée au triangle rectangle coloré,
on peut annuler une grande partie de l'expression précédente
et avec un peu de chance il restera ab/2. :zen:

[yvelines78]

bonjour,

le triangle noir est rect (inscrit dans un cercle avec son plus grand côté comme diamètre)
a²+b²=c²
aire du triangle noir=a*b/2

aire demi-cercle de rayon c/2=pi*(c/2)²/2=pic²/8
aire blanche=pic²/8-ab/2

aire demi-cercle de rayon a/2=pi*(a/2)²/2=pia²/8
aire demi-cercle de rayon b/2=pi*(b/2)²/2=pib²/8
aire hachurée=pia²/8+pib²/8-(pic²/8-ab/2)=pi/8(a²+b²)-pic²/8+ab/2
=pi/8(c²)-pic²/8+ab/2=+ab/2

[O.Z]

Merci, j'ai compris :++:.