Loi uniforme promeneur

[kadaid]

Bonjour
Voici un exo sur la loi uniforme.
Un promeneur effectue un trajet de longueur L sur lequel il perd une clé A puis une clé B à un autre endroit. Les deux événement sont indépendants et tous les points du trajet sont équiprobables.
X est la variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur [0 ;L] et
X : d ---à X(d), distance du point départ au point de perte de la clé A
Il s’en aperçoit à la fin du trajet et parcourt en sens inverse une distance r.
1°) Quelle est la probabilité qu’il retrouve les deux clés ?
2°) Quelle est la probabilité qu’il retrouve au moins une clé ?

Réponse

<___________A______________B___________________> trajet L

<---------------------------------------> distance r

1° P(X >= r) = 1 – P(X<= r) = 1 – d/L = 1 – (L-d)/L = r/L car pour retrouver les deux clés, il faut que r >= L-d ( en sens inverse). Est ce que c’est ça ?
2°) événement contraire:Il ne retrouve aucune clé : P(X<=r) mais il ne faut pas qu’il arrive au point B et on ne connaît pas une relation entre L et la distance à B ( en sens inverse )

Merci pour vos commentaires