Loi de proba

[olive1978]

Bonjour,

J'ai un petit probleme de proba dont voici l'enonce

100 personnes se répartissent au hasard et indépendamment les uns des autres dans trois pieces P1, P2, P3. On suppose que chaque pièce peut abriter la totalité du groupe. Soit Xk la variable définie par le nombre de personnes ayant choisi la piece Pk (1 <= k <= 3).

1. Déterminer la loi de proba de ces trois variables
2. Que vaut X1+X2+X3 ? En deduire la loi de X1+X2.

Ma question est : les Xk suivent ils une loi binomiale ? Si oui, comment le justifier ? Merci d'avance

[maturin]

alors ton énoncé te dit que les personnes se répartissent aléatoirement et indépendamment entre les salles.

C'est pas forcément très mathématique comme langage mais ça doit vouloir dire que si tu prends une personne donnée elle a 1 chance sur 3 d'aller dans P1, 1/3 d'aler dans P2 et 1/3 d'aller dans P3.

Il faudrait plutot dire équiprobabilitairement (si ce mot existe) à la place de aléatoriement.

Donc là tu dois pour x1 variant de 0 à 100 calculer la probabilité qu'il y ait x1 personnes dans la salle 1.

Rq: Les lois de proba sont les mêmes pour les 3 salles.

[olive1978]

Merci Maturin,

Si j'ai bien suivi, on a alors :



On a donc :



Je dis n'importe quoi ?

[fahr451]

pour Xi c'est correct en revanche

X1+X2+X3 ... ( où vont donc les 100 personnes? )

la somme de deux variables binômiales de paramètres n,p et m , p

est une variable de loi binomiale n+m, p dans le cas où les variables sont indépendantes est-ce le cas ici?

[olive1978]

X1+X2+X3 ... ( où vont donc les 100 personnes? )

la somme de deux variables binômiales de paramètres n,p et m , p

est une variable de loi binomiale n+m, p dans le cas où les variables sont indépendantes est-ce le cas ici?

OK, merci beaucoup. Comment je fais alors pour calculer la loi de X1+X2+X3 ?
Un piste m'aiderait bien ...


Pfffffffff, c'est difficile de se remttre aux probas ...

[fahr451]

réfléchis à ce que concrètement représente le nombre X1+X2+X3

[olive1978]

réfléchis à ce que concrètement représente le nombre X1+X2+X3

Je dirai comme ca X1+X2+X3=100 ???

[fahr451]

et tu aurais raison

[olive1978]

Encore merci. C'est tellement mieux de comprendre que d'avoir une reponse tout faite.
Je reviens a la derniere question de l'enonce (loi de X1+X2) . Comment faire ?

Je precise qu'au debut de l'enonce, je n'ai pas precise qu'il y avait une emande de demo de : Soit X une var suivant la loi B(n, p). Montrer que n ;) X suit la loi
B(n, 1 ;) p).

Allez, une derniere piste et apres je vous laisse tranquille ...

[fahr451]

X1+X2 = n-X3 et on utilise le résultat que tu viens de citer

pour la justification de la loi de X1 il suffit de dire :

on nomme succès le fait qu'une personne choisisse la pièce 1 et échec le contraire.

X1compte le nombre de succès dans la répététion de 100 épreuves de Bernoulli indépendantes (les personnes ne se concertent pas) et de même
paramètre 1/3 par définition X1 est une B(100,1/3)

si X de loi B( n,p)

on pose Y = n-X

{Y= k} = {X=n-k} et "yaka" remplacer dans les formules

on peut aussi dire que si X représente le nbre de succès sur n épreuves
Y représente le nombre d 'échecs la proba d 'un échec étant 1-p

[olive1978]

Merci !