2e loi de Kepler : comment calculer l'aire en Terminale ?

[Anonyme]

Bonjour,

Un ami prof de physique vient de me demander son aide, et comme je ne
sais pas le faire je viens solliciter la vôtre. En classe de Terminale,
il parle à ses élèves des trois lois de Kepler, dont en particulier la
deuxième loi, dite loi des aires.

Cette loi dit que le mouvement d'une planète en orbite autour de son
soleil est tel que le segment de droite reliant le soleil et la planète
balaie des aires égales pendant des durées égales. Pour l'illustrer,
j'ai trouvé mieux qu'un schéma : une animation en Java.
Voir :

Ma question (ou plus exactement celle de mon ami) est la suivante.
Comment calculer l'aire délimitée par une ellipse et par deux
demi-droites partant d'un foyer de cette ellipse, et ce uniquement
avec des outils accessibles en Terminale ? Il n'est par exemple pas
question de leur parler d'intégrales doubles.

Merci d'avance pour toute idée (ou pour des liens sur Internet ; je n'en
ai pas trouvé détaillant le calcul).

Olivier Miakinen

[Anonyme]

Le Wed, 02 Jun 2004 23:06:35 +0200, Olivier Miakinen à écrit
>Bonjour,
>
>Un ami prof de physique vient de me demander son aide, et comme je ne
>sais pas le faire je viens solliciter la vôtre. En classe de Terminale,
>il parle à ses élèves des trois lois de Kepler, dont en particulier la
>deuxième loi, dite loi des aires.
>
>Cette loi dit que le mouvement d'une planète en orbite autour de son
>soleil est tel que le segment de droite reliant le soleil et la planète
>balaie des aires égales pendant des durées égales. Pour l'illustrer,
>j'ai trouvé mieux qu'un schéma : une animation en Java.
>Voir :
>
>Ma question (ou plus exactement celle de mon ami) est la suivante.
>Comment calculer l'aire délimitée par une ellipse et par deux
>demi-droites partant d'un foyer de cette ellipse, et ce uniquement
>avec des outils accessibles en Terminale ? Il n'est par exemple pas
>question de leur parler d'intégrales doubles.
>
>Merci d'avance pour toute idée (ou pour des liens sur Internet ; je n'en
>ai pas trouvé détaillant le calcul).
>
>Olivier Miakinen

Pas besoin d'intégrales doubles, une integrale simple suffit

A = int( t = t1..t2, 1/2 r² dt )

r² = a²cos²(t)+b²sin²(t) avec la paramétrisation habituelle de
l'ellipse.

Ce calcul est accessible je pense.

Résultat :
A = 1/4 [ (a²-b²)sin(t2-t1) + (a²+b²)(t2-t1) ]



--
zwim.
Rien n'est impossible que la mesure de la volonté humaine...

[Anonyme]

Le 03/06/2004 00:17, zwim a écrit :
>
> Pas besoin d'intégrales doubles, une integrale simple suffit
>
> A = int( t = t1..t2, 1/2 r² dt )
>
> r² = a²cos²(t)+b²sin²(t) avec la paramétrisation habituelle de
> l'ellipse.

C'est ce que j'avais cru initialement, sauf que... le point de rencontre
des segments de droites n'est pas le « centre » de l'ellipse, mais l'un
des deux foyers.

> Ce calcul est accessible je pense.
>
> Résultat :
> A = 1/4 [ (a²-b²)sin(t2-t1) + (a²+b²)(t2-t1) ]

Est-ce moi qui ai mal compris ta réponse, ou bien cette formule
n'est-elle pas la bonne, comme je le suppose ?

[Anonyme]

Bonjour,

Olivier Miakinen a écrit:
> Bonjour,
>
> Un ami prof de physique vient de me demander son aide, et comme je ne
> sais pas le faire je viens solliciter la vôtre. En classe de Terminale,
> il parle à ses élèves des trois lois de Kepler, dont en particulier la
> deuxième loi, dite loi des aires.
>
> Cette loi dit que le mouvement d'une planète en orbite autour de son
> soleil est tel que le segment de droite reliant le soleil et la planète
> balaie des aires égales pendant des durées égales. Pour l'illustrer,
> j'ai trouvé mieux qu'un schéma : une animation en Java.
> Voir :
>
> Ma question (ou plus exactement celle de mon ami) est la suivante.
> Comment calculer l'aire délimitée par une ellipse et par deux
> demi-droites partant d'un foyer de cette ellipse, et ce uniquement
> avec des outils accessibles en Terminale ? Il n'est par exemple pas
> question de leur parler d'intégrales doubles.
>

Origine = centre de masse du système :
Conservation du moment cinétique = cte (système isolé)
m r^2 w = cte
mais w, vitesse angulaire est la dérivée de theta par rapport
au temps (limite de delta_theta/delta_t)
Nota : r et w varient tous deux au cours du temps !

Aire d'un secteur de rayon r, d'angle delta_theta :
delta_aire = 1/2 r^2 delta_theta
(ceci ne dépend pas de la forme de la trajectoire)
Donc moment angulaire = cte = 1/2 m delta_aire/delta_t

Conclusion :
La dérivée par rapport au temps de l'aire balayée est constante,
l'aire balayée est donc proportionnelle au temps.
En particulier aire balayée égale en des temps égaux.

Pas besoin d'intégrales du tout !
Ceci ne prouve pas que la trajectoire est une ellipse ni que
le centre de masse du système est un des foyers, mais la loi des
aires est indépendante de ça ! C'est juste l'expression de la
conservation du moment cinétique.
Si la loi d'attraction n'est pas en 1/r^2, la trajectoire n'est
plus la même, mais la loi des aires est encore vraie.

Sinon calculer de façon purement mathématique l'aire d'un secteur
d'ellipse, en coordonnées polaires par rapport à un de ses foyer,
faut bien savoir jouer des intégrales (simples)...
Mais où intervient le _TEMPS_ dans ce calcul d'aire ?
On ne serait donc pas plus avancé...

--
philippe
(chephip à free point fr)

[Anonyme]

Le 03/06/2004 01:06, philippe 92 a écrit :
>
> [ démonstration de la 2nde loi de Kepler ]
>
> Pas besoin d'intégrales du tout !

Oui, en effet, mais la question de mon pote n'était pas celle-là.

> Sinon calculer de façon purement mathématique l'aire d'un secteur
> d'ellipse, en coordonnées polaires par rapport à un de ses foyer,
> faut bien savoir jouer des intégrales (simples)...

Ce n'est donc pas si simple que ça...

> Mais où intervient le _TEMPS_ dans ce calcul d'aire ?
> On ne serait donc pas plus avancé...

Si j'ai bien compris (on n'a discuté que deux ou trois minutes tandis
qu'il me ramenait en voiture), l'idée est de visualiser la trajectoire
d'une comète entre le 1er et le 31 mars, puis entre le 1er et le 31
décembre, et de vérifier que les deux aires correspondant à ces deux
périodes de même durée sont bien égales. Il m'a dit qu'il l'avait fait
par triangulation, mais qu'il aurait aimé avoir une formule mathématique
accessible aux Terminales qui soit un peu moins approchée.

[Anonyme]

Le Thu, 03 Jun 2004 00:17:07 +0200, Olivier Miakinen à écrit
>Le 03/06/2004 00:17, zwim a écrit :[color=green]
>>
>> Pas besoin d'intégrales doubles, une integrale simple suffit
>>
>> A = int( t = t1..t2, 1/2 r² dt )
>>
>> r² = a²cos²(t)+b²sin²(t) avec la paramétrisation habituelle de
>> l'ellipse.
>
>C'est ce que j'avais cru initialement, sauf que... le point de rencontre
>des segments de droites n'est pas le « centre » de l'ellipse, mais l'un
>des deux foyers.
>
>> Ce calcul est accessible je pense.
>>
>> Résultat :
>> A = 1/4 [ (a²-b²)sin(t2-t1) + (a²+b²)(t2-t1) ]
>
>Est-ce moi qui ai mal compris ta réponse, ou bien cette formule
>n'est-elle pas la bonne, comme je le suppose ?[/color]

Ah oui, tiens j'ai confondu aussi. :-/

Il faut alors passer par les éléments képlériens.

Avec a le demi-grand axe de l'ellipse et b le demi-petit axe.

e = sqrt(1 - b²/a²) son excenticité

Le point O est (0,0)
Le foyer F est (ae,0)
Le périgé P est (a,0)

Un point M(x,y) sur le cercle de rayon a, et M'(x',y') sur la même
verticale sur l'ellipse.

v l'anomalie vraie, càd l'angle PFM'
alpha l'ascension droite, càd l'angle POM

x = a cos(alpha)
y = a sin(alpha)

x' = r cos v = a (cos(alpha)-e)
y' = r sin v = b sin(alpha)

on a alors la relation

r = a(1-e cos(alpha)) = a(1-e²)/(1+ecos(v))

Avec cette nouvelle paramétrisation à partir du foyer tu peux calculer
l'aire, mais cette fois on a du cos(v) au dénominateur, c'est pas
forcément une sinécure à intégrer...



--
zwim.
Rien n'est impossible que la mesure de la volonté humaine...

[Anonyme]

Olivier Miakinen wrote:

>Bonjour,
>
>Un ami prof de physique vient de me demander son aide, et comme je ne
>sais pas le faire je viens solliciter la vôtre. En classe de Terminale,
>il parle à ses élèves des trois lois de Kepler, dont en particulier la
>deuxième loi, dite loi des aires.
>
>Cette loi dit que le mouvement d'une planète en orbite autour de son
>soleil est tel que le segment de droite reliant le soleil et la planète
>balaie des aires égales pendant des durées égales. Pour l'illustrer,
>j'ai trouvé mieux qu'un schéma : une animation en Java.
>Voir :
>
>Ma question (ou plus exactement celle de mon ami) est la suivante.
>Comment calculer l'aire délimitée par une ellipse et par deux
>demi-droites partant d'un foyer de cette ellipse, et ce uniquement
>avec des outils accessibles en Terminale ? Il n'est par exemple pas
>question de leur parler d'intégrales doubles.
>
>Merci d'avance pour toute idée (ou pour des liens sur Internet ; je n'en
>ai pas trouvé détaillant le calcul).
>
>Olivier Miakinen

J'avais écrit ceci il y a longtemps, peut-être que ca peut aider:
http://www.geocities.com/scroussette/ellipse.htm
Ca explique comment calculer l'aire du secteur de l'ellipse sans
intégrales.

PS: sur le site mentioné plus haut, pour la 3eme loi de Kepler, il est
dit: "Cette constante est indépendante de la masse de la planète".
Ceci est faux en théorie, il faut tenir compte de la masse de la
planète(je dis bien en théorie), voir le fil entier de
http://groups.google.com/groups?selm=408D3EE2.6080308%40hotmail.com

[Anonyme]

Le 03/06/2004 01:50, zwim a écrit :
>
> Il faut alors passer par les éléments képlériens.
>
> Avec a le demi-grand axe de l'ellipse et b le demi-petit axe.
>
> e = sqrt(1 - b²/a²) son excenticité
>
> Le point O est (0,0)
> Le foyer F est (ae,0)
> Le périgé P est (a,0)
>
> Un point M(x,y) sur le cercle de rayon a, et M'(x',y') sur la même
> verticale sur l'ellipse.

Je suppose que c'est M'(x,y') avec y' = (b/a)y.

> v l'anomalie vraie, càd l'angle PFM'
> alpha l'ascension droite, càd l'angle POM
>
> x = a cos(alpha)
> y = a sin(alpha)

Ok.

> x' = r cos v = a (cos(alpha)-e)
> y' = r sin v = b sin(alpha)

Ah oui, ici x' correspond à x en prenant F comme origine au lieu de O.
OM' = (x, y') = (x, by/a)
FM' = (x', y') = (x-ae, by/a)

> on a alors la relation
>
> r = a(1-e cos(alpha)) = a(1-e²)/(1+ecos(v))

Je n'ai compris aucune des deux égalités. :-/
Mais je vais faire une recherche sur la toile avec les mots-clés
« excentricité » et « anomalie vraie », je devrais trouver des choses.

> [...] cette fois on a du cos(v) au dénominateur, c'est pas
> forcément une sinécure à intégrer...

C'est dans des cas comme celui-là qu'il faut se redire la maxime de ta
signature :

> Rien n'est impossible que la mesure de la volonté humaine...

[Anonyme]

Le 03/06/2004 15:53, Sylvain Croussette a écrit :
>
> J'avais écrit ceci il y a longtemps, peut-être que ca peut aider:
> http://www.geocities.com/scroussette/ellipse.htm
> Ca explique comment calculer l'aire du secteur de l'ellipse sans
> intégrales.

Ça peut certainement aider ! Je viens d'imprimer ta page, et je vais la
lire tranquillement.

> PS: sur le site mentioné plus haut, pour la 3eme loi de Kepler, il est
> dit: "Cette constante est indépendante de la masse de la planète".
> Ceci est faux en théorie, il faut tenir compte de la masse de la
> planète(je dis bien en théorie), voir le fil entier de
> http://groups.google.com/groups?selm=408D3EE2.6080308%40hotmail.com

Pour le fil entier, il suffit de remplacer « selm » par « threadm » :
http://groups.google.com/groups?threadm=408D3EE2.6080308%40hotmail.com

Merci pour ce lien aussi.

[Anonyme]

Olivier Miakinen a écrit:
> Le 03/06/2004 01:50, zwim a écrit :
>[color=green]
>>Il faut alors passer par les éléments képlériens.
>>
>>Avec a le demi-grand axe de l'ellipse et b le demi-petit axe.
>>
>>e = sqrt(1 - b²/a²) son excenticité
>>
>>Le point O est (0,0)
>>Le foyer F est (ae,0)
>>Le périgé P est (a,0)[/color]

Le périgée (de Gaïa, le terre => Gée ) est l'opposé de l'apogée.
Apo : le plus haut Peri : le plus bas. J'eqça.

[Anonyme]

On Thu, 03 Jun 2004 09:53:51 -0400, Sylvain Croussette
wrote:

>
>J'avais écrit ceci il y a longtemps, peut-être que ca peut aider:
>http://www.geocities.com/scroussette/ellipse.htm

je crois qu'il y a une anomalie dans l'écriture d'excentrique

[Anonyme]

Le 03/06/2004 21:00, Marc Pichereau a écrit :[color=green]
>>
>>J'avais écrit ceci il y a longtemps, peut-être que ca peut aider:
>>http://www.geocities.com/scroussette/ellipse.htm
>
> je crois qu'il y a une anomalie dans l'écriture d'excentrique [/color]

Oui, c'est une écriture un peu eccentrique, mais le reste me semble
eccellent.

[Anonyme]

Olivier Miakinen wrote in message news:...
> Bonjour,
>
> Un ami prof de physique vient de me demander son aide, et comme je ne
> sais pas le faire je viens solliciter la vôtre. En classe de Terminale,
> il parle à ses élèves des trois lois de Kepler, dont en particulier la
> deuxième loi, dite loi des aires.
>
> Cette loi dit que le mouvement d'une planète en orbite autour de son
> soleil est tel que le segment de droite reliant le soleil et la planète
> balaie des aires égales pendant des durées égales. Pour l'illustrer,
> j'ai trouvé mieux qu'un schéma : une animation en Java.
> Voir :
>
> Ma question (ou plus exactement celle de mon ami) est la suivante.
> Comment calculer l'aire délimitée par une ellipse et par deux
> demi-droites partant d'un foyer [...]

Solution sans intégrale :

Soit M un point de l'ellipse correspondant
à l'angle au foyer u, et P le point
du cercle correspondant à l'anomalie excentrique t.
Pour une ellipse (a,b), l'aire balayée au niveau du cercle
correspondant est aire(t) = a^2 t/2.

Après affinité de rapport b/a elle donne
l'aire du secteur d'ellipse cherché, soit a*b*t/2.

Il nous faut exprimer t en fonction de u.
Si F est le foyer d'abscisse c, on a pour le point M:
Cos(u) == (-Sqrt(a^2 - b^2) + a*Cos(t))/
Sqrt((-Sqrt(a^2 - b^2) + a*Cos(t))^2 + b^2*Sin(t)^2)

Après résolution, et en ne retenant que la solution convenable :
(u allant de 0 à pi) :
t = ArcCos((b^2*Cos(u) + a*Sqrt((a - b)*(a + b))*Sin(u)^2)/
(a^2 + (-a^2 + b^2)*Cos(u)^2))

En remplaçant dans la formule de l'aire(t) on obtient :
(avec c^2 = a^2 - b^2)

aire(u) =

(a*b*ArcCos((b^2*Cos(u) + a*Sqrt(a^2 - b^2)*Sin(u)^2)/
(a^2 - (a^2 - b^2)*Cos(u)^2)))/2

= ( tentative de meilleure lisibilité ! )

b^2*Cos(u) + a*c*Sin(u)^2
(1/2) a*b*ArcCos(---------------------------)
a^2 - c^2*Cos(u)^2

(et pour un secteur aire(u1,u2) = aire(u2) - aire(u1))

Verification : en faisant u=pi on retrouve bien pi*a*b/2
qui est la moitié de l'aire de l'ellipse.