Loi Binomial | Echantillonage

[tshkeroidtuott]

Bonjour

J'ai un exercice et je voudrais avoir une aide :

énoncé :
La proportion de personnes aux cheveux châtains en France est d'environ 50%.
On a observé un échantillon de 150 personnes dont 89 ont les cheveux châtains.
En quoi ce n'est pas une loi binomial ?

Réponse :
Soit X une variable aléatoire, Si on répète un certain nombre de fois (ici 150) une épreuve de Bernoulli de manière indépendante, où p est la probabilité de succès (ici 0.5) alors X suit une loi binomial et X est le nombre de personnes aux cheveux châtains.

Or la question nous demande en quoi ce n'est PAS une loi binomial et moi je trouve que s'en est une.


Merci d'avance

[Ben314]

Salut,
Je ne sait pas trop quoi te répondre vu la question posée (à part éventuellement le fait que dans "binomiale", il y a un e à la fin....)

Donc je me permet quelques petites questions :
- Tu es en quelle classe ?
- L'exo., il est tiré d'où ? Est-ce l'énoncé strictement exact de l'exercice ?
- En math, en général (i.e. a part ce type d'exo.), tu comprend en général "plutôt pas mal" ou "moyen moyen" ?

[tshkeroidtuott]

Je suis en 1S et je comprend bien les maths, mais là (c'est l’énoncé exact donné par la prof) je n'arrive pas à comprendre pourquoi ce n'est pas une loi binomiale (avec un e )

[Ben314]

Bon, si en math, en général tu comprend "assez bien", je pense que je peut te dire ce que j'en pense :
A mon sens, c'est a peu prés "sans queue ni tête" comme énoncé.

- Déjà, pour savoir si "quelque chose" est (ou n'est pas) une loi binomiale, ça serait quand même mieux que le "quelque chose" ça soit une loi de probabilité, c'est à dire une quantité "aléatoire" que l'on mesure.
Là, le "quelque chose" qu'on te donne, c'est une et une seule observation : on est donc très très loin du compte en ce qui concerne le fait d'en déduire une quelconque loi de probabilité.

Pour t'expliquer mon point de vue, ça me fait penser à un exo. où on te dirait ça :
On a récupéré un dés (à 6 faces) et on aimerais savoir s'il est équilibré ou pas (c'est à dire si le résultat du dés est une loi uniforme sur l'ensemble {1,2,3,4,5,6}). On jette le dés. On obtient 5. Est-il équilibré ?

En plus, bien qu'étant prof. (en particulier de proba) je n'arrive même pas a voir comment modifier l'énoncé pour que ça lui donne du "sens" :
- Ça pourrait être "On observe un échantillon de 150 personnes et on note X le nombre de personnes de l'échantillon ayant des cheveux châtains. X suit-il une loi binomiale ?" Et la bonne réponse serait (à peu prés) celle que tu donne, c'est à dire "OUI". Sauf que dans ce cas, on a "jeté à la poubelle" la partie de l'énoncé concernant le fait que, sur une (et une seule) observation donnée, on a trouvé X=89.
- Ça pourrait éventuellement être "On se demande si il est vrai ou pas que la proportion de personnes aux cheveux châtains en France est de 50%. Sur un échantillon totalement aléatoire de 150 personnes on en trouve 89 dont les cheveux sont châtains. Que peut on en déduire concernant la question de départ (i.e. les 50%) ?"
Sauf que là, c'est des trucs du style "intervalles de confiances" qui, sauf erreurs sont entrevus en terminale et pas en première et que je vois franchement pas le rapport avec la question "est-ce une loi binomiale ?"

[zygomatique]

salut

je ne comprends pas non plus cet énoncé ... et suis curieux de connaître la réponse de ton prof ....


pour informer Ben314 de ce qui se fait au lycée ::

on voit en seconde l'intervalle de fluctuation/confiance "au niveau (très approximatif !!) de confiance 95%" d'une proportion ou fréquence :: ou idem avec f à la place de p

lorsque p/f appartient à [0,2 ; 0,8] et n est "suffisamment grand" .... (n > 25)

on voit en première l'intervalle de fluctuation/confiance "au niveau (approximatif) de confiance 95 % :: associé à une loi binomiale

où p/f est cette fois quelconque et n est suffisamment grand (n > 25)

et a et b les plus petits entiers tels que P(X =< a) > 0,025 et P(X =< b) >= 0,975


ce n'est qu'en terminale qu'on voit l'intervalle de fluctuation/confiance asymptotique .... qu'on explique un peu en TS .... et qu'on travaille avec d'autres valeurs que 95 ...


finalement une idée de réponse (mais guère convaincante) :: (mais il serait bien de savoir s'il y a une suite ou si c'est l'énoncé complet)

ici ce qu'on mesure ce n'est pas le nombre de personnes X vérifiant un caractère donné (qui suit une loi binomiale) mais ce qu'on mesure est une proportion F à valeur dans [0, 1]

certes on passe de X à F en divisant par n = 150 et donc F est entièrement déterminée (pour celui qui sait) mais ce n'est pas au programme de première ....