Logarythme

[Nono524]

Bonjour,
Je suis en train de faire mon DM de maths mais il ya une question qui me pose problème c'est pourquoi j'aimerai bien qu'on m'éclaicisse sur cette question
soit f(x) = e^x - lnx
la dérivé est égale à e^x - 1/x
Montrer que f admet un minimum m égal à a + 1/a

Donc quand la dérivé s'annule en a alors la fonction f admet un minimum
donc f(a) = e^a - lna
Mais je ne comprend pas comment trouver a+1/a
Merci de me répondre au plus vite

[Nono524]

Bonjour,
J'ai un devoir de maths à faire et je ne comprend pas le sens des questions.
On propose de recherche les entiers a et b tels que a^b = b^a avec a < b
1) démontrer que a^b = b^a équivaut à lna/a = lnb/b
2) par l'étude de la fonction f(x)= lnx/x montrer que les seuls valeurs possibles de a sont 1 et 2 . Conclure
3) Comparer 100000^100001 et 100001^100000



Alors pour la 1) j'ai réussis
mais pour la 2) je ne vois pas bien le sens de la question. La valeur de a est en fonction de quoi ?
Pouvez vous m'éclaicir sur ce sujet
Merci

[chan79]

Bonjour,
Je suis en train de faire mon DM de maths mais il ya une question qui me pose problème c'est pourquoi j'aimerai bien qu'on m'éclaicisse sur cette question
soit f(x) = e^x - lnx
la dérivé est égale à e^x - 1/x
Montrer que f admet un minimum m égal à a + 1/a

Donc quand la dérivé s'annule en a alors la fonction f admet un minimum
donc f(a) = e^a - lna
Mais je ne comprend pas comment trouver a+1/a
Merci de me répondre au plus vite

Bonjour
Pour la dérivée, tu trouves quoi ?

[annick]

Bonjour,
ton minimum se produit pour x=a.
Ta dérivée est donc f'(a)=e^a-1/a.
Mais puisqu'il s'agit d'un extremum, que vaut ta dérivée ?
A partir de cette remarque, on pourra exprimer e^a et lna différemment.

EDIT : Par contre Nono524, ne mets pas plusieurs exercices dans le même post, en même temps car il devient difficile de te répondre.

[Black Jack]

f '(x) = e^x - 1/x

f '(a) = 0 ----> e^a = 1/a
a = e^-a
ln(a) = -a

Et donc f(a) = ...

Mais il faut quand même montrer qu'il s'agit bien d'un min et pas d'un max.

:zen:

[Nono524]

Bonjour,
ton minimum se produit pour x=a.
Ta dérivée est donc f'(a)=e^a-1/a.
Mais puisqu'il s'agit d'un extremum, que vaut ta dérivée ?
A partir de cette remarque, on pourra exprimer e^a et lna différemment.

EDIT : Par contre Nono524, ne mets pas plusieurs exercices dans le même post, en même temps car il devient difficile de te répondre.

Ma dérivé vaut f'(x)=e^x - 1/x
donc f'(a) = 0
Oui désolé

[Nono524]

f '(x) = e^x - 1/x

f '(a) = 0 ----> e^a = 1/a
a = e^-a
ln(a) = -a

Et donc f(a) = ...

Mais il faut quand même montrer qu'il s'agit bien d'un min et pas d'un max.

:zen:

Je ne comprend pas comment tu trouve lna = -a

[Nono524]

Je ne comprend pas comment tu trouve lna = -a

Votre méthode semble bonne mais je n'arrive pas à la fin
f(a) = ?????

[JackeOLanterne]

Votre méthode semble bonne mais je n'arrive pas à la fin
f(a) = ?????

Quelles propriétés lient ln et exp en tant que réciproques l'une de l'autre? Que conclues-tu de f'(a)=0?

[Black Jack]

Je ne comprend pas comment tu trouve lna = -a

e^a = 1/a
a = e^-a
ln(a) = ln(e^-a)
ln(a) = -a
*****
ou bien :

e^a = 1/a
ln(e^a) = ln(1/a)
a.ln(e) = ln(1) - ln(a)
a = 0 - ln(a)
ln(a) = -a

:zen:

[Black Jack]

Votre méthode semble bonne mais je n'arrive pas à la fin
f(a) = ?????

Avec f(x) = e^x - lnx, on a :
f(a) = e^a - ln(a)

Et on a montré que : e^a = 1/a et que ln(a) = -a

De là à arriver à f(a) = 1/a + a, le chemin ne ne semble pas bien ardu.
*****

Mais, comme je l'ai déjà dit, il faut montrer que f(a) est bien un minimum et pas un maximum.

En effet f '(x) = 0 pour x = a, montre que la courbe représentant f(x) a un extremum en x = a, mais il faut quand même montrer que cet extremum est un minimum.

:zen:

[annick]

Donc tu as :


e^a-1/a=0, soit e^a= ?

Ensuite, essaye de repartir de là pour exprimer -lna

Tu pourras donc remplacer e^a par... et lna par....dans f(a)=e^a-lna

Si tu as bien calculé, tu dois retomber sur la formule que l'on te propose.

[Nono524]

Avec f(x) = e^x - lnx, on a :
f(a) = e^a - ln(a)

Et on a montré que : e^a = 1/a et que ln(a) = -a

De là à arriver à f(a) = 1/a + a, le chemin ne ne semble pas bien ardu.
*****

Mais, comme je l'ai déjà dit, il faut montrer que f(a) est bien un minimum et pas un maximum.

En effet f '(x) = 0 pour x = a, montre que la courbe représentant f(x) a un extremum en x = a, mais il faut quand même montrer que cet extremum est un minimum.

:zen:

Oui j'ai déjà trouver que c'est un extremun mais je n'arrive toujours pas à passer de f(a)=e^a - lna à f(a)= 1/a + a