[ROC]Logarithmes Népérien

[pimboli4212]

bonsoir tout les matheux ici présent :ptdr:

Voilà j'ai un "petit" ROC comme tout les TS les aime à faire sur la fonction LN il se compose de :
1) Démontrer qu'elle est continue sur IR+*
2) Démontrer qu'elle est dérivable sur ce même intervalle et montrer que ln'(x) = 1/x

Alors, je sèche completement j'ai fait la continuité mais ce que j'ai fait est certainement faut, pour la dérivabilité je ne m'en sort pas (du taux de dérivabilité et de sa limite encore moi :stupid_in )

Bref ... je m'en remet à vous

[anima]

bonsoir tout les matheux ici présent :ptdr:

Voilà j'ai un "petit" ROC comme tout les TS les aime à faire sur la fonction LN il se compose de :
1) Démontrer qu'elle est continue sur IR+*
2) Démontrer qu'elle est dérivable sur ce même intervalle et montrer que ln'(x) = 1/x

Alors, je sèche completement j'ai fait la continuité mais ce que j'ai fait est certainement faut, pour la dérivabilité je ne m'en sort pas (du taux de dérivabilité et de sa limite encore moi :stupid_in )

Bref ... je m'en remet à vous

J'ai bien une idée, mais il faut voir si c'est accepté en ROC. L'axiome du logarithme: ln(x) est définie comme l'aire entre l'axe Ox et la courbe 1/x de 1 à x.
On a donc
Or, 1/x est continue sur IR+*. L'intégrale d'une fonction continue est elle-aussi continue sur le même intervalle (IR+*).
Et quand on dérive une intégrale, on retombe sur...la fonction. Dérivable sur ]0;+inf[. Bingo :we:

[pimboli4212]

merci beaucoup de ta réponse mais je peut t'assurer que ça ne sera pas accepté pour la simple et bonne raison qu'on a pas encore fait les intégrale ...donc pas ça désolé, merci quand même :)

[anima]

merci beaucoup de ta réponse mais je peut t'assurer que ça ne sera pas accepté pour la simple et bonne raison qu'on a pas encore fait les intégrale ...donc pas ça désolé, merci quand même

:hum:
Dommage, c'était la façon la plus simple de prouver . Pas grave...

lnx est continue sur un intervalle ssi le domaine de définition n'est pas interrompu, et si:

(soit ln(x) -> ln(x0) quand x -> x0 pour tout x0)
Ca doit être faisable, une petite récurrence là-dessus... ou même juste une preuve normale.

Pour la dérivabilité, par contre, il n'y a pas d'autre méthode que par l'axiome du logarithme (ou du moins, aucune méthode sauf celle la, que je connais :ptdr: )

[pimboli4212]

c'est comme ça que j'ai fait pour la continuité mais n'ayant pas vu non plus les suites (et donc le principe de récurrence) j'ai fini ma démonstration comme j'ai pu (en gros j'ai sortis un truc genre lim ln(a) = ln(x) (a->x) cela est valable pour tout a € IR+* qui correspond à l'ensemble de définition de la fonction LN, donc ...)

Mais la dérivabilité, je vois vraiment pas et à dire vrai ça me rassure de me sentir moins seul maintenant :D

[anima]

c'est comme ça que j'ai fait pour la continuité mais n'ayant pas vu non plus les suites (et donc le principe de récurrence) j'ai fini ma démonstration comme j'ai pu (en gros j'ai sortis un truc genre lim ln(a) = ln(x) (a->x) cela est valable pour tout a € IR+* qui correspond à l'ensemble de définition de la fonction LN, donc ...)

Mais la dérivabilité, je vois vraiment pas et à dire vrai ça me rassure de me sentir moins seul maintenant

J'aimerai bien t'aider avec les outils que j'ai, mais tu ne les as pas (développements limités + récurrence grâce à la formule de Maclauren avec reste de Young). Je peux te donner ça quand même si tu veux

[pimboli4212]

lol ça serait inutil mais c'est tout de même gentils de ta part de me le proposer

[anima]

lol ça serait inutil mais c'est tout de même gentils de ta part de me le proposer

Peut-être que ca te fera tilter sur une autre méthode, qui sait...

Si une fonction a une limite finie et est dérivable en h, alors elle accepte un développement limité en h.

Or, Maclaurin-Young nous dit que si un développement limité existe, alors:

Ca, c'est au voisinage de zéro. Pour tout x, on pose x=x+h et on se retrouve avec beaucoup de facteurs. Et... ln(x) admet un développement limité pour x=x+dx mais pas pour x=0. On peut donc dire qu'elle est dérivable et continue pour tout x>0

[pimboli4212]

mouais ... comme j'avais prévenu, ça me dit rien mais vraiment merci d'avoir pris sur ton temps pour essayer de m'aider :++:

[anima]

mouais ... comme j'avais prévenu, ça me dit rien mais vraiment merci d'avoir pris sur ton temps pour essayer de m'aider :++:

AH MAIS JE SAIS COMMENT FAIRE! J'suis con. Et quand je pense que je l'ai fait pour e^x à Oxford...


On va faire mumuse.


Normalement ça devrait aboutir. Je te laisse continuer

[pimboli4212]

merci je vais essayer avec ça ^^ j'avais eu une idée comme ça au brouillon mais j'avais pas pensé à ajouter le delta x ... ça va surement aboutir, merci ^^ je posterais ici la version de ma prof demain nous comparerons :++:

[pimboli4212]

chose promis, chose du ^^ Voici la version de ma prof, autrement plus compliqué, comme c'est étonnant :briques:

~> Continuité :
Dmq ln est continue sur IR+*, cad que lim ln (a+h) = ln a (h->0) pour tout à € IR+*
Transformons lim ln(a+h) :
lim ln(a+h) = lim ln (a[1+(h/a)]) = lim [ln a + ln (1+[h/a])] (toujours h->0) [relation *]
Notre pb revient donc à dmq la fonction ln est continue en 1, ce qui revient à dmq lim ln(1+h) = ln 1 (h->o) cad que lim ln x = 0 (x->1) avec x = 1 + h
On pose x = e^h, on a donc lim e^h = 1 (h->0)
Donc la fonction ln est continue en 1
on a donc (dans la relation *) : lim ln (a+h) = lim [lna + 0] = ln a (h->0)
d'où ln est continue sur IR+*

Avis personels : C'est bien se faire chier pour pas grand chose m'enfin bon ...

~> Dérivabilité :
Dmq ln est dérivable sur IR+*, cad que lim ([ln (a+h) - ln(a)]/h) existe et est fini (h->o)
Cherchons lim ([ln (a+h) - ln(a)]/h) (relation 1)
1 = lim ([ln([a+h]/h)]/h) = lim ([ln(1+[a/h])]/h) = lim (ln[1+H]/[H*a]) = 1/a * lim [ln(1+H) / H] (à chaque fois h ou H -> 0 et H = h/a)
Posons x = ln (1+H)
1 = 1/a lim [x/([e^x]-1)]
Or on sait que lim [([e^x]-1)x] = 1
d'où lim [x/([e^x]-1)] = 1
d'où 1 = 1/a * 1
soit lim ([ln([a+h]/h)]/h) = 1/a

Avis personnel : Idem ... :--: