Logarithmes : familles de fonctions

[Anonyme]

Bonsoir,

Je suis bloqué aux dernières questions d'un exercice de maths sur les logarithmes.

Pour tout entier naturel n non nul, on considère la fonction fn définie sur R+* par : fn(x) = ln(x) + x/n - 1. On note An e nombre tel que fn(An) = 0.

On désigne par Dn le domaine délimité par la courbe de fn, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=An et x=e. On admet que l'air de Dn est égale à (An)²/n.

1) Etablir que : (e-An) ln(An) infegal (An)²/n infegal (e-An)

2) En déduire un encadrement de n(e-An)

3) La suite de terme général n(e-An) est-elle convergente ? Ce résultat permet-il d'apprécier la rapidité de la convergence de la suite (An) ?

Pour la 1), j'ai essayé pas mal de trucs... Mais rien de marche. Je suppose que la suite de terme général n(e-An) converge car on nous demande un encadrement (donc logiquement, tant l'exo est guidé, on devrait utiliser le théorème des gendarmes), mais à part ça, je suis bloqué....
Si quelqu'un pouvait me dépanner un peu, au moins pour le 1, ça serait vraiment sympa :)

[Mortelune]

Bonsoir, pour la 1) il semble qu'il faille penser à la définition de l'intégrale comme une somme d'aire, donc voir l'inclusion de surfaces les unes dans les autres.

[Anonyme]

Dans ce cas, je vois comment faire pour montrer une partie de l'inégalité. Puis-je dire que graphiquement, c'est le cas ? (bien-sûr, en montrant ce qui se passe graphiquement)
Mais graphiquement, je ne vois pas comment faire pour la deuxième inégalité (l'inégalité de gauche) étant donné qu'on n'a pas ln An : on sait juste que celui-ci est compris entre 0 et 1.

[Mortelune]

fn(x) = ln(x) + x/n - 1

Et fn(An)=0 donc ln(An)=1-An/n
De même on a aussi fn(e)=e/n.

J'espère que ça marche j'ai rien vérifié.

[geegee]

bonjour ,


On peut se représenter fn(x).
fn'(x)=1/x+1/n
fn' est donc ... sur R+.
lin x tend 0 fn(x) -inf
lim x tend +inf fn(x)=+inf
donc fn(x) coupe l'axe des abscisses/
fn(e )=e/n >0 donc An
En An f(An)= ln(An)+An/n-1
Montrer que f(An)>= ln(An)

En e fn(e)=e/n
Montrer que e/n <=1

On aura donc que (e-An)ln(An)<=Aire de de la sectio n de plan<=(e-An)
Avec Aire de la section de plan = (An)carre/n

[Anonyme]

[quote="geegee"]En An f(An)= ln(An)+An/n-1
Montrer que f(An)>= ln(An)

En e fn(e)=e/n
Montrer que e/n = ln(An) alors An/n - 1 >=0
C'est pas logique, pourtant, puisque n>=An !
De même, f1(e) et f2(e) >= 1, non ?

[Anonyme]

J'ai réussi à faire la première question (en disant que ln x était croissante sur [An, e] minorée par ln An et majorée par 1 donc par passage à l'intégrale, (e-An) ln An infegal An²/n infegal (e-An).

En déduire un encadrement de n(e-An) :
n(e-An) ln An infegal An² infegal n(e-An)
ln An infegal An²/n(e-An) infegal 1
1/(ln An) supegal n(e-An)/An² supegal 1
An²/(ln An) supegal n(e-An) supegal An².

Or, la limite de ln An quand n tend vers plus l'infini est de 1 donc, par passage à la limite, la limite de n(e-An) quand n tend vers plus l'infini est égale à la limite en plus l'infini de An². ; c'est-à-dire e².