Logarithme: trouver l'erreur

[Crazy]

Bonsoir , contrairement à ma volonté, je n'arrive pas a repondre aux questions . J'espere que vous pourrez m'apporter un peu d'aide .
L'objectif est de démontrer que pour tout réel t de l'intervalle ]0,1[ ln(t).ln(1-t)
1) on peut penser que c'est facile : puisque 0or la fonction ln est croissante donc lntdonc en multipliant membre à membre ces inégalités ,, on a (ln(t))(ln(1-t)< ou = (ln2)²
Trouver l'erreur dans ce raisonnement.

pour la réponse , je me demande si c'est possible de multiplier les membres de deux inégalités entre eux...


2)Il semblerait que l'algèbre ne permette oas de conclure. On introduit alors la fonction f définir sur I=]0,1[ par f(t) = (lnt)[ln(1-t)] et on interprete la conclusion : il s'agit de prouver que f(t) ne dépasse jamais (ln2)²
a) trouver un nombre to de ]0,1[ tel que f(to) = (ln2)². ON est donc amené a prouver que (ln2)² est le maximum de f

J'ai étudié la fonction f et j'ai trouvé que (ln2)² et le maximum de f , donc c'est bon.

b) Vérifier que f est dérivable sur I (je l'ai fait)et que le signe d f'(t) est celui de (1-t) ln(1-t)-tlnt

Pour f'(t) j'ai trouvé -1/(t-t²)

[Quidam]

1) on peut penser que c'est facile : puisque 0<t<1 , à fortiori 0<t<2 d'une part et 0<1-t<2 d'autre part
or la fonction ln est croissante donc lnt<ou= ln2 et ln(1-t)<ln2
donc en multipliant membre à membre ces inégalités ,, on a (ln(t))(ln(1-t)< ou = (ln2)²
Trouver l'erreur dans ce raisonnement.

pour la réponse , je me demande si c'est possible de multiplier les membres de deux inégalités entre eux...

Bien vu ! La réponse est NON ! On ne peut pas multiplier deux inégalités entre elles (ce sont des filles !) sauf si tous les nombres sont positifs.

Par exemple :
-2 < 1
-3 < 1

En multipliant membre à membre on obtient 6 < 1 ! Ya donc un problème !

Par contre, si :
0 < a < b
0 < c < d

Alors :

0 < ac < bd

C'est vrai que : lnt<ou= ln2 et ln(1-t)<ln2, mais ln(t) et ln(1-t) sont négatifs !

Tu n'as simplement pas le droit de faire ce que tu as fait !

[Crazy]

Merci pour votre réponse et merci de l'avoir argumentée