soit la fonction f(x)=x-(e/lnx) soit C sa représentation graphique dans (O;i;j)
1/a/calculez limites de f en 1 et -l'infini.
b/étudiez les variations de f et dressez son tableau de variation sur ]1;+l'infini[
2/a/montrez que la droite (D) d'équation y=x est asymptote à (C). étudiez la position de (C) par rapport à (D)
soient M un point de (C) et N un point de (D) de même abcisse x.déterminez les valeurs de x pour lesquelles la distance MN est inférieure à 5mm.
b/ (C)admet une deuxième asymptote; donnez-en une équation.
3/donnez une équation de la tangente (T)à la courbe (C) au point d'abcisse e
est ce que quelqu'un pourrait me faire cet exercice en expliquant s'il vous plait? merci d'avance parce que je suis un peu perdue là merci d'avance de vos réponses!
Logarithme
6 messages
- Page 1 sur 1
par fonfon » 17 Jan 2006, 19:28
Salut, je veux bien t'aider mais est-ce que tu as fait qq chose où vraiment tu comprends rien car même si je le fait en t'expliquant si tu n'as pas essayer c'est pas trops ds ton interêt.
logarithme
par diane88210 » 17 Jan 2006, 19:39
si si g essayé mais vraiment jy arrive pas tu peux m'aider stp?
par warz_cannon » 17 Jan 2006, 20:24
1. a)
Soit
, donc, par inverse:
, puis par produit:
, car -e 0 donc la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle 
2.
a) Etude de la limite de f(x) - x au voisinage de
:
 - x = - \frac{e}<br />{{\ln x}})
et
, par inverse puis par produit,
 = {\lim }\limits_{x \to + \infty } - \frac{e}<br />{{\ln x}} = 0)
Donc la droite d'équation y=x est asymptote à C en.
Soit
L'unité graphique n'étant pas précisée, prenons une unité graphique de 1cm. Les points M et N ont pour coordonnées, d'après l'énoncé:} \right),N\left( {x;0} \right))
Soit d la distance MN, alors:
^2 + \left( {y_M - y_N } \right)^2 } = \sqrt {\left( {x - x} \right)^2 + \left( {f\left( x \right) - 0} \right)^2 } = \sqrt {f\left( x \right)^2 } = \left| {f\left( x \right)} \right|)
Donc,
} \right| < \frac{1}<br />{2} \hfill \\)
La résolution d'équation combinant un polynôme (même de degré 1) et logarithme néperien n'est pas au programme de TS, cependant, graphiquement on observe:
 \approx 0,5)
Tout les points de l'intervalle
sont tels que la distance MN soit inférieur à 5 mm.
b)
f n'est pas définie pour x=1 et, d'après la question 1:
 = \pm \infty)
Donc la droite d'équation x=1 est asymptote à C.
3. Par définition, la tangente (T) à C au point d'abcisse e, est donnée par l'équation:
\left( {x - e} \right) + f\left( e \right) \hfill \\<br /> \Leftrightarrow y = \left( {\frac{e}<br />{{e \cdot \ln \left( e \right)^2 }} + 1} \right)\left( {x - e} \right) + \left( {e - \frac{e}<br />{{\ln \left( e \right)}}} \right) \hfill \\<br /> \Leftrightarrow y = \left( {1 + 1} \right)\left( {x - e} \right) + \left( {e - e} \right) \hfill \\<br /> \Leftrightarrow y = 2x - 2e \hfill \\)
Voilà. J'ai essayé d'être aussi détaillé que possible; cela m'a pris pas mal de temps. Si tu as la moindre question, ou point sur lequel tu voudrais que je (ou quelqu'un d'autre) revienne, laisse un message.
Bonne continuation.
- Warz Cannon, lycée français de Damas (Syrie).
Soit
2.
a) Etude de la limite de f(x) - x au voisinage de
et
Donc la droite d'équation y=x est asymptote à C en
Soit
L'unité graphique n'étant pas précisée, prenons une unité graphique de 1cm. Les points M et N ont pour coordonnées, d'après l'énoncé:
Soit d la distance MN, alors:
Donc,
La résolution d'équation combinant un polynôme (même de degré 1) et logarithme néperien n'est pas au programme de TS, cependant, graphiquement on observe:
Tout les points de l'intervalle
b)
f n'est pas définie pour x=1 et, d'après la question 1:
Donc la droite d'équation x=1 est asymptote à C.
3. Par définition, la tangente (T) à C au point d'abcisse e, est donnée par l'équation:
Voilà. J'ai essayé d'être aussi détaillé que possible; cela m'a pris pas mal de temps. Si tu as la moindre question, ou point sur lequel tu voudrais que je (ou quelqu'un d'autre) revienne, laisse un message.
Bonne continuation.
- Warz Cannon, lycée français de Damas (Syrie).
par fonfon » 17 Jan 2006, 20:34
Re,
soit f(x)=x-(e/lnx)
1/a/calculez limites de f en 1 et -l'infini(c'est pas plutot en +infini)
etudions la limite en 1
soit etudions en 1+:
lim x=1 qd x->1+
lim-e/lnx=-inf qd x->1+ car lim lnx=0+ qd x->1+ dc lim -1/lnx=-inf
donc lim f(x)=-inf qd x->1+
etudions maintenant en 1-:
lim x=1 qd x->1-
lim-e/lnx=+inf qd x->1- car lim lnx=0- qd x->1- dc lim-1/lnx=+inf
donc limf(x)=+inf qd x->1-
j'ai etudié en 1+ et 1- car Df=]0,1[ U]1,+inf[ si c'est seulement une etude sur ]1,+inf[ tu ne prends que 1+
etudions la limite en +inf:
limx=+inf qd x->+inf
lim-e/lnx=0 car :lim1/ln(x)=0 qd x->+inf
donc lim f(x)=+inf qd x->+inf
b/étudiez les variations de f et dressez son tableau de variation sur ]1;+l'infini[
on calcule f'(x) pour etudier les variations soit:
f'(x)=1+e/(x*(ln(x)²) donc sur ]1,+inf[ f'>0 donc ta fct est croissante
je te laisse remplir le tableau de variation
2/a/montrez que la droite (D) d'équation y=x est asymptote à (C). étudiez la position de (C) par rapport à (D)
pour montrer que y=x est asymptote à la courbe on montre que:
limf(x)-x=0 qd x->+inf
soit f(x)-x=-e/lnx et lim-e/lnx=0 qd x->+inf
donc y=x est asymptote à la courbe Cf.
etudions la position relative de (C) par rapport à (D)
soit pour tt x ds ]1,+inf[ on a f(x)-x<0 dc sur ]1,+inf[ (D) est au dessus de (C)
soient M un point de (C) et N un point de (D) de même abcisse x.déterminez les valeurs de x pour lesquelles la distance MN est inférieure à 5mm
Si une droite delta a pour equation ax+by+c=0,le vecteur v(-b,a) est un vecteur directeur de delta et le vecteur w(a,b) est un vecteur normal à delta
on a que la distance d'un point Mo(xo,yo) de (C) à la droite (D) est donnée par la formule:
d(Mo,delta)=MoH=(val.absolue(axo+bxo+c))/sqrt(a²+b²) donc ici ilfaut que:
(val.absolue(axo+bxo+c))/sqrt(a²+b²) <5mm je te laisse calculer je pense que tu peux le faire.
b/ (C)admet une deuxième asymptote; donnez-en une équation
on a montrer ds le 1) que limf(x)=-inf en 1+ et limf(x)=+inf en 1- donc d'apres le cours si limf=+ou-inf qd x->xo alors la droite d'equation x=xo est asymptote à la courbe donc ici x=1 est asymptote à (C) qd x->+ou-inf
3/donnez une équation de la tangente (T)à la courbe (C) au point d'abcisse e
formule de l'equation de la tangente au point d'abscisse xo:
y=f'(xo)(x-xo)+f(xo)
soit f'(e)=2 et f(e)=0 donc y=2(x-e)
j'epere que cela te permettra de comprendre un peu mieux
A+
soit f(x)=x-(e/lnx)
1/a/calculez limites de f en 1 et -l'infini(c'est pas plutot en +infini)
etudions la limite en 1
soit etudions en 1+:
lim x=1 qd x->1+
lim-e/lnx=-inf qd x->1+ car lim lnx=0+ qd x->1+ dc lim -1/lnx=-inf
donc lim f(x)=-inf qd x->1+
etudions maintenant en 1-:
lim x=1 qd x->1-
lim-e/lnx=+inf qd x->1- car lim lnx=0- qd x->1- dc lim-1/lnx=+inf
donc limf(x)=+inf qd x->1-
j'ai etudié en 1+ et 1- car Df=]0,1[ U]1,+inf[ si c'est seulement une etude sur ]1,+inf[ tu ne prends que 1+
etudions la limite en +inf:
limx=+inf qd x->+inf
lim-e/lnx=0 car :lim1/ln(x)=0 qd x->+inf
donc lim f(x)=+inf qd x->+inf
b/étudiez les variations de f et dressez son tableau de variation sur ]1;+l'infini[
on calcule f'(x) pour etudier les variations soit:
f'(x)=1+e/(x*(ln(x)²) donc sur ]1,+inf[ f'>0 donc ta fct est croissante
je te laisse remplir le tableau de variation
2/a/montrez que la droite (D) d'équation y=x est asymptote à (C). étudiez la position de (C) par rapport à (D)
pour montrer que y=x est asymptote à la courbe on montre que:
limf(x)-x=0 qd x->+inf
soit f(x)-x=-e/lnx et lim-e/lnx=0 qd x->+inf
donc y=x est asymptote à la courbe Cf.
etudions la position relative de (C) par rapport à (D)
soit pour tt x ds ]1,+inf[ on a f(x)-x<0 dc sur ]1,+inf[ (D) est au dessus de (C)
soient M un point de (C) et N un point de (D) de même abcisse x.déterminez les valeurs de x pour lesquelles la distance MN est inférieure à 5mm
Si une droite delta a pour equation ax+by+c=0,le vecteur v(-b,a) est un vecteur directeur de delta et le vecteur w(a,b) est un vecteur normal à delta
on a que la distance d'un point Mo(xo,yo) de (C) à la droite (D) est donnée par la formule:
d(Mo,delta)=MoH=(val.absolue(axo+bxo+c))/sqrt(a²+b²) donc ici ilfaut que:
(val.absolue(axo+bxo+c))/sqrt(a²+b²) <5mm je te laisse calculer je pense que tu peux le faire.
b/ (C)admet une deuxième asymptote; donnez-en une équation
on a montrer ds le 1) que limf(x)=-inf en 1+ et limf(x)=+inf en 1- donc d'apres le cours si limf=+ou-inf qd x->xo alors la droite d'equation x=xo est asymptote à la courbe donc ici x=1 est asymptote à (C) qd x->+ou-inf
3/donnez une équation de la tangente (T)à la courbe (C) au point d'abcisse e
formule de l'equation de la tangente au point d'abscisse xo:
y=f'(xo)(x-xo)+f(xo)
soit f'(e)=2 et f(e)=0 donc y=2(x-e)
j'epere que cela te permettra de comprendre un peu mieux
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