Logarithme népérien

[HeidiEve941702167]

Bonjour, je n'arrive pas à faire cette exercice, car je ne le comprends pas . Pourriez vous me l'expliquer ?
Ps j'en ai 4 autres comme ça .
Merci de votre aide .

Voici l'exo

Soit k un nombre réel fixé, on considère la fonction fk définie sur [ 0 ; +∞ [ par fk(0) = 0 et fk(x) = x (k – ln x)
si x > 0.
Soit k la courbe représentative de la fonction fk dans un repère orthonormé.
Dans l’annexe 1, plusieurs courbes fk sont données pour différentes valeurs de k. ( Je n'arrive pas à mettre une photo voici les courbes : K3; K2; K1; K0; K-1 ( je ne sais pas si cela aide ))

Étude de la fonction f2

1. Déterminer la limite de la fonction f2 en +∞.
2. Démontrer que la fonction f2 est continue en 0.
3. La fonction f2 est-elle dérivable en 0 ? Que peut-on en déduire pour la courbe 2 ?
4. Déterminer f2’ (x) pour x strictement positif et étudier les variations de la fonction f2.
5. Déterminer le signe de f2 (x) suivant les valeurs de x.

Partie B
Deux propriétés des courbes k

1. On appelle Sk le point d’ordonnée maximum sur la courbe k. Montrer que, pour tout réel k, le point
Sk est situé sur une droite  indépendante de k, que l’on précisera.
2. Soit Tk la tangente à la courbe k au point d’abscisse 3.
Montrer que toutes les droites Tk coupent l’axe des ordonnées en un point A indépendant de la valeur de k.
Déterminer pour quelle valeur de k la tangente à la courbe k au point Sk passe par A.

[Black Jack]

Salut,

Je fais le début ...

fk(x) = x.(k – ln(x)) sur x > 0 et fk(0) = 0

f2(x) = x.(2 - ln(x)) pour x > 0 et f2(0) = 0

1) lim(x--> +oo) f2(x) = lim(x--> +oo) [x.(2 - ln(x))] = oo * (-oo) = -oo

2)
lim(x--> 0+) f2(x) = lim(x--> 0+) [x.(2 - ln(x))] = lim(x--> 0+) [2x] - lim(x--> 0+) [x.ln(x)]
= - lim(x--> 0+) [x.ln(x)]
et en posant x = 1/t ---> = - lim(t--> +oo) (-ln(t)/t) = 0

Et donc f2 est continue en 0

3)
lim(x--> 0) (f2(x)-f2(0))/x = lim(x--> 0) [(x.(2 - ln(x))-0)/x] = lim(x--> 0) [2 - ln(x)] = +oo
Et donc f2 n'est pas dérivable en 0

Commence par comprendre ce qui précède et pose des questions précises si tu coinces ... et puis essaie de continuer.

Ecris tes réponses sur le site ... et il y aura bien un ou l'autre pour t'aider en cas de problème.

[HeidiEve941702167]

Merci de votre réponse . J'ai deux heures de maths donc je vais essayer