Logarithme népérien

[trimpman]

Bonsoir a tous !
Voila j'ai un petit problème :

On me demande de prouver que f'(x) = f(x)
f'(x) = (x-1)(x+2) / 2x(x+1)
f(x) = 1/2x - 1 - ln( x/x+1)

Je dérive donc f(x) et je tombe sur f'(x) = 1/2 - 1/(x+1)²
Et je suis bloqué la. Si vous pouvez m'aider merci :)

[Mortelune]

Bonsoir, dans ta dérivée tu as dû oublier la partie dérivée du ln, (ln(u))'=u'/u et tu n'as mis que le u'.

Par contre j'ai pas bien compris ton énoncé à moins qu'il faille montrer que la dérivée de la fonction f est bien égale à la dérivée proposée, ce qui est vrai ^^

[trimpman]

Ah oui en effet :stupid_in

f'(x) = 1/2 - (1/(x+1)²) / (x/x+1)

Et comment je me sors de la ? :marteau:

[Mortelune]

Simplification du 2e terme puis passage au même dénominateur puis factorisation du numérateur, dit comme ça c'est rapide, mais ça ne l'est pas beaucoup moins dans la pratique.

[trimpman]

f'(x) = 1/2 - (1/(x+1)²) / (x/x+1)
= 1/2 - 1/(x+1)² * x+1/x
= 1/2 - x+1 / x(x+1)²
= -(x+1)²*(x+1) / 2x(x+1)²
= -(x+1) * (x+1) / 2x(x+1)
= -x² -x - x - 1 / 2x(x+1)
= -x² -2x -1/ 2x(x+1)

Bloqué . :mur:
Ou j'ai fais une erreur s'il vous plais :help:

[Mortelune]

Le passage de la 2e à la 3e ligne, il y a une simplification faite à moitié du coup ça fausse le reste.

[trimpman]

Je vois pas mon erreur :/ tu peux me dire ?

[Mortelune]

Normal il y en a pas j'ai lu trop vite, tu n'a pas simplifié c'est pour ça fin bref ton passage au même dénominateur en revanche semble bien compliqué, donc simplifie plus la ligne 3 avant de continuer.

[Black Jack]

f'(x) = 1/2 - (1/(x+1)²) / (x/x+1)
= 1/2 - 1/(x+1)² * x+1/x
= 1/2 - x+1 / x(x+1)²
= -(x+1)²*(x+1) / 2x(x+1)²
= -(x+1) * (x+1) / 2x(x+1)
= -x² -x - x - 1 / 2x(x+1)
= -x² -2x -1/ 2x(x+1)

Bloqué . :mur:
Ou j'ai fais une erreur s'il vous plais :help:

Si tu commençais par mettre des parenthèses là où il en faut ...
Ce serait moins faux et bien plus clair.

f'(x) = 1/2 - (1/(x+1)²) / (x/(x+1))
= 1/2 - 1/(x+1)² * (x+1) /x
= 1/2 - (x+1) / (x(x+1)²)

Et avant de continuer, tu devrais t'apercevoir que dans le "morceau" :
(x+1) / (x(x+1)²) , on peut diviser numérateur et dénominateur par (x+1)

:zen:

[trimpman]

f'(x) = 1/2 - (x+1) / (x(x+1)²)
= 1/2 - 1/ x(x+1)
= x(x+1) /2x(x+1)

J'y arrives vraiment pas .. :wrong:

Je n'arrive pas non plus a trouvé la limite en 0

Je trouve -1, mais ma calculette m'indique le contraire :x

[Mortelune]

(x+1)/(x+1)= ?

[trimpman]

(x+1)/(x+1)= 1

Il faut que j'arrive au final a : f'(x) = (x-1)(x+2) / 2x(x+1) :doh:

[Mortelune]

Oui mais comme tu as vu ce résultat, tu dois voir la simplification assez facilement du coup (toujours entre la 2e et la 3e ligne du calcul et comme le souligne Black Jack).

[trimpman]

La 2eme ligne est juste ?

[Mortelune]

f'(x) = 1/2 - (1/(x+1)²) / (x/x+1)
= 1/2 - 1/(x+1)² * (x+1)/x
= 1/2 - (x+1) / x(x+1)²
= -(x+1)²*(x+1) / 2x(x+1)²
= -(x+1) * (x+1) / 2x(x+1)
= -x² -x - x - 1 / 2x(x+1)
= -x² -2x -1/ 2x(x+1)

En vert ce qui est bon est en rouge le reste.

Mais avant de t'attaquer au rouge simplifie la dernière ligne verte, je t'assure que ce n'est pas la mer à boire.

[trimpman]

f'(x) = 1/2 - (1/(x+1)²) / (x/x+1)
= 1/2 - 1/(x+1)² * x+1/x
= 1/2 - x+1 / x(x+1)²

= 1/2 - 1/x(x+1)
= 1*(x(x+1)) - 1 / 2x(x+1)
= x(x+1) - 1 / 2x(x+1)
= x² + x - 1 / 2x(x+1)



Et comment j'arrive a (x-1)(x+2) / 2x(x+1) ??? ... :doh:

[Mortelune]

f'(x) = 1/2 - (1/(x+1)²) / (x/x+1)
= 1/2 - 1/(x+1)² * x+1/x
= 1/2 - x+1 / x(x+1)²

= 1/2 - 1/x(x+1)

Eh bien jusque là c'est bon après tu as du faire une petite erreur d'étourderie lors du passage au même dénominateur.
Pour la factorisation après il faudra utiliser le cours sur les polynômes du second degré je pense.

[trimpman]

= 1/2 - 1/x(x+1)
= x(x+1)-2 / 2x(x+1)
= x² +x - 2 / 2x (x+1)

Si on développe (x-1)(x+2)
= x² +2x -x -2
= x² +x -2

C'est bien ça ?

Et j'ai un problème ensuite pour la limite de F(x) en 0 .

[Mortelune]

Oui c'est fini.

Pour la limite c'est assez "simple" ça revient presque à chercher la limite de ln(x) quand x tend vers 0.
A toi de trouver pourquoi.

[trimpman]

Lim 1/2x -1 = -1
x -> 0

Lim ln ( x/(x+1) ) = 0
x -> 0

Donc lim f(x) = -1 C'est ça ?
x -> 0