Logarithme népérien et suite (TS)

[Domitille]

Bonsoir.
Je bloque totalement sur plusieurs questions d'un exercice de maths. Cependant ne vous inquiétez pas, il y a beaucoup de choses écrites mais il y a des données et des réponses que j'ai trouvé hein, pas que des questions non résolues :)

Dans la première partie, j'ai étudié plusieurs fonctions :
f(x)=x-e^x qui est croissante sur ]-;) ; 0] avec f(0)=-1 puis décroissante sur [0 ; +;)[ et la limite en +;) et -;) est -;)
g(x)=(1-x)e^x qui est croissante sur ]-;) ; 0] avec g(0)=1 puis décroissante sur [0 ; +;)[ et la limite en -;) est 0+ et en +;) est -;)

C'est la deuxième partie qui me pose problème. On me dit qu'on étudie la suite Sn=1+1/2+...+1/n-ln n
1.Déterminer un encadrement de Sn d'amplitude 10^-3 avec la calculatrice. Je ne comprends pas cette question, comment peut-on faire ?

2. a) il fallait montrer que e^x ;) 1/(1-x) pour x de ]0;1[ ce que j'ai réussi à faire.
b) déduisez-en que pour tout entier k ;) 2, e^(1/k) ;) k/(k-1)
j'ai pensé à remplacer x par 1/k mais on obtient alors 1/(1-1/k) et je ne sais pas comment passer de ça à k/(k-1)
ensuite j'ai réussi à en déduire que 1/k ;) ln (k/(k-1))
c) Cette question me pose problème, pour tout entier n ;) 2 calulez Sn-S(n-1) et démontrer que la suite Sn est décroissante or quand je fait Sn-S(n-1) je trouve 1/n - ln n + ln (n-1) et ça ne m'avance pas vraiment comment faire ?

3.a) Pour n > 20 on pose un=S20-Sn démontrer que un ;) 0 encore une fois je trouve quelque chose qui ne me permet pas de conclure : -ln 20+ln n -1/n-... étant donné qu'on ne sait pas combien il y a de chiffres entre 20 et n
b) j'ai réussi à montrer que pour x de ]0;1[ 1+x ;) e^x
c) j'ai réussi à en déduire que (k+1)/k ;) e^(1/k) puis que ln((k+1)/k) ;) 1/k
d) il faut vérifier que pour tout n > 20 un=ln (n/20)-(1/21+...+1/n), là j'avoue que je bloque totalement

par récurrence il faut ensuite démontrer que pour n > 20 ln((n+1)/20) ;) 1/21 + ... + 1/n et encore une fois je suis complètement bloquée

e)en déduire que pour tout n > 20 un ;) ln 21/20 - ln((n+1)/n) encore une fois je ne vois pas comment faire étant donné qu'on n'a ni ln 21/20 ni ln((n+1)/n) dans les calculs précédents. puis que un ;) 0.049

4. on admet que lim Sn=C
justifier que S20-0.049 ;) C ;) S20
je ne vois pas comment relier mes idées, en fait on sait que S20=Sn+un et que S20-un=Sn or un ;) 0.049 et Sn ;) C mais avec tout ça je sais pas comment faire ma démonstration.
Comme S20=Sn+un c'est logique que S20 soit supérieur ou égal à Sn mais peut on dire pour autant que S20 est supérieur à C ?
Comme S20-un=Sn et un ;) 0.049 on a environ Sn dans le membre de gauche de notre encadrement mais peut on en conclure que commen Sn ;) C, S20-0.049 ;) C ?

Merci d'avance à ceux qui auront eu le courage de lire tout ce texte et de m'aider, même si c'est uniquement pour une question.

[SimonB]

1.Déterminer un encadrement de Sn d'amplitude 10^-3 avec la calculatrice. Je ne comprends pas cette question, comment peut-on faire ?

C'est assez intuitif, calcule ça pour quelques valeurs de n jusqu'à ce que tu trouves une différence entre deux termes successifs de moins de 10^-3.

Ca n'est pas rigoureux (parce qu'on ne sait pas si ça converge ; ça pourrait très bien rester à peu près constant pendant un certain temps puis s'en aller vers d'autres valeurs), mais je ne vois guère quoi faire d'autre.

b) déduisez-en que pour tout entier k 2, e^(1/k) k/(k-1)
j'ai pensé à remplacer x par 1/k mais on obtient alors 1/(1-1/k) et je ne sais pas comment passer de ça à k/(k-1)

Mets tout au même dénominateur dans l'expression de droite...

c) Cette question me pose problème, pour tout entier n 2 calulez Sn-S(n-1) et démontrer que la suite Sn est décroissante or quand je fait Sn-S(n-1) je trouve 1/n - ln n + ln (n-1) et ça ne m'avance pas vraiment comment faire ?

Tu as une identité sur ln(a)-ln(b) que tu dois connaître.
Même si tu n'y avais pas pensé, dans ce genre d'énoncé, les questions sont en général guidées pour arriver au résultat ! Donc il suffit de regarder la question d'avant pour "intuiter" ce qu'il faut qu'on ait dans cette question.

3.a) Pour n > 20 on pose un=S20-Sn démontrer que un 0 encore une fois je trouve quelque chose qui ne me permet pas de conclure : -ln 20+ln n -1/n-... étant donné qu'on ne sait pas combien il y a de chiffres entre 20 et n

Pareil ! Il faut penser à utiliser la question d'avant !

Sn est décroissante, donc pour n>20, que dire de ? ...

d) il faut vérifier que pour tout n > 20 un=ln (n/20)-(1/21+...+1/n), là j'avoue que je bloque totalement

C'est un simple calcul : . Il y a plusieurs termes qui s'éliminent...

par récurrence il faut ensuite démontrer que pour n > 20 ln((n+1)/20) 1/21 + ... + 1/n et encore une fois je suis complètement bloquée

Essaye déjà d'initialiser la récurrence. Indice : se servir de la question d'avant !

Faisons déjà ça et on verra le reste après.

[Domitille]

Tu as une identité sur ln(a)-ln(b) que tu dois connaître.

Merci je n'avais même pas vu, j'ai donc 1/n - ln(n-1/n) et donc quand n augmente Sn diminue

Sn est décroissante, donc pour n>20, que dire de S_20-S_n

Merci, je me sens vraiment ridicule, il m'aurait suffit de regarder mieux l'énoncé plutôt que de me bloquer sur la question, malheureusement ça m'arrive souvent.

C'est un simple calcul : u_n = (1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{20}-ln{20})(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}-ln{n}). Il y a plusieurs termes qui s'éliminent...

Effectivement, j'avais bien éliminé des termes mais comme pour la première question, je n'avais pas vu le ln(a)-ln(b).

Essaye déjà d'initialiser la récurrence. Indice : se servir de la question d'avant !

Pour commencer, j'ai remarqué que j'avais mal recopié l'énoncé, c'est ln((n+1)/21) pas sur 20.
Donc on obtient bien ln (22/21) 1/21.
On a donc pour un n > 20, ln((n+1)/21) 1/21 + ... + 1/n
C'est ensuite que je bloque, normalement, on ajoute 1/(n+1) de chaque côté et on obtient donc ln((n+1)/21) + 1/(n+1) 1/21 + ... + 1/n + 1/(n+1) mais ensuite comment peut on réduire pour obtenir ln ((n+2)/21) ?

[laschtroumpfette]

Bonjour,

J'ai le même DM à réaliser...j'ai réussi tout le DM mais pour ces dernières questions je viens m'aider de ce forum...

Domitille: Pourrais-tu s'il te plait détailler un peux plus le début de ton raisonnement (ce qui est en gras),

["Pour commencer, j'ai remarqué que j'avais mal recopié l'énoncé, c'est ln((n+1)/21) pas sur 20.
Donc on obtient bien ln (22/21) 1/21.
On a donc pour un n > 20, ln((n+1)/21) 1/21 + ... + 1/n C'est ensuite que je bloque, normalement, on ajoute 1/(n+1) de chaque côté et on obtient donc ln((n+1)/21) + 1/(n+1) 1/21 + ... + 1/n + 1/(n+1) mais ensuite comment peut on réduire pour obtenir ln ((n+2)/21) ?"]


puisque j'ai "ln((n+2)/(n+1)) 1/21 + 1/22 +...+ 1/n + 1/(n+1)" mais il y a un problème puisque (n+1) se trouve en bas, or le dénominateur doit être fixe : 21 :hum:

Est-ce-que quelqu'un pourrait m'aider, s'il vous plait???

Merci d'avance à ceux qui y répondront :happy2:

[laschtroumpfette]

C'est bon je me suis débrouillée
A la prochaine
@+