Logarithme népérien, ensemble de définition

[maritchdu59]

Bonjour tout le monde, j'aurais besoin de votre aide pour m'aider dans cet exercice :

Pour chaque fonction, déterminer l'ensemble de définition :
a) f(x) = ln(x²+2x)
b) f(x) = ln(x)+ln(2-x)
c) f(x) = ln[(x+2)/x)]
d) f(x) = ln(1/x) - ln(2-x)

Voici mes pistes de recherche :
Pour la a) , j'ai trouvé un ensemble de définition correspondant à ]-inf;O[ U ]2;+inf[
Pour le b) , j'ai trouvé un ensemble de définition correspondant à ]2;+inf[
En revanche je ne trouve pas comment faire pour le c) et le d)

Si vous pouviez m'aider je vous en serai très reconnaissante car je ne comprend vraiment pas comment il faut faire. Merci d'avance !

[JackeOLanterne]

Quel est le domaine de définition de la fonction Ln qui conditionne le signe de l'expression quelle inclut?
Par ailleurs, que sait-on des propriétés de et ? Le a) et le b) sont à revoir.

[maritchdu59]

En réalité je ne sais pas grand chose des logarithmes, j'ai du m'aider de mon livre car nous n'avons pas encore fait ce cours !
Voici ma démarche par la a) :
f(x) = ln(x²+2x) existe pour x²+2x > 0 et donc x(x+2)>0
D'ou f(x) est définie sur ]-inf;O[ U ]2;+inf[

[acoustica]

Bonjour tout le monde, j'aurais besoin de votre aide pour m'aider dans cet exercice :

Pour chaque fonction, déterminer l'ensemble de définition :
a) f(x) = ln(x²+2x)
b) f(x) = ln(x)+ln(2-x)
c) f(x) = ln[(x+2)/x)]
d) f(x) = ln(1/x) - ln(2-x)

Voici mes pistes de recherche :
Pour la a) , j'ai trouvé un ensemble de définition correspondant à ]-inf;O[ U ]2;+inf[
Pour le b) , j'ai trouvé un ensemble de définition correspondant à ]2;+inf[
En revanche je ne trouve pas comment faire pour le c) et le d)

Si vous pouviez m'aider je vous en serai très reconnaissante car je ne comprend vraiment pas comment il faut faire. Merci d'avance !

a) Pour que ta fonction soit définie, il faut que x^2+2x soit supérieur à 0. Pour cela, il s'agit d'étudier cette fonction polynôme. Toutefois, même s'il est vrai que ln(x^2+2x)=ln(x^2)+ln(2x), si tu fais cela, tu réduis l'intervalle d'étude. En effet, si tu prends par exemple x=-3, f(-3) est bien définie, alors que ln((-3)^2) + ln(2*(-3)) ne l'est pas. La raison est qu'alors, si on prend x=-3, x(x+2) est bien positif, comme produit de deux réels négatifs. Si on pose g(x)=ln(x^2)+ln(2x), g est définie sur ]0,+infini[ et on a bien f(x)=g(x) sur ]0,+infini[. Pourtant, le domaine de définition de f est plus grand que ]0,+infini[.

[acoustica]

En réalité je ne sais pas grand chose des logarithmes, j'ai du m'aider de mon livre car nous n'avons pas encore fait ce cours !
Voici ma démarche par la a) :
f(x) = ln(x²+2x) existe pour x²+2x > 0 et donc x(x+2)>0
D'ou f(x) est définie sur ]-inf;O[ U ]2;+inf[

Oui, la démarche est bonne, mais les calculs sont faux. Et si tu traçais la courbe sur ta calculatrice ? Ensuite, fais un tableau de signes, tu verras. :lol3:

[acoustica]

Bonjour tout le monde, j'aurais besoin de votre aide pour m'aider dans cet exercice :

Pour chaque fonction, déterminer l'ensemble de définition :
a) f(x) = ln(x²+2x)
b) f(x) = ln(x)+ln(2-x)
c) f(x) = ln[(x+2)/x)]
d) f(x) = ln(1/x) - ln(2-x)

Voici mes pistes de recherche :
Pour la a) , j'ai trouvé un ensemble de définition correspondant à ]-inf;O[ U ]2;+inf[
Pour le b) , j'ai trouvé un ensemble de définition correspondant à ]2;+inf[
En revanche je ne trouve pas comment faire pour le c) et le d)

Si vous pouviez m'aider je vous en serai très reconnaissante car je ne comprend vraiment pas comment il faut faire. Merci d'avance !

Pour la b), regarde : tu as du logarithme de 2-x. g(x)=2-x est une fonction du type ax+b, avec a<0 puisqu'égal à -1. Cette fonction est négative à partir d'un certain réel (2 en l'occurence). On ne peut alors plus prendre le logarithme. Donc déjà, tu ne peux pas avoir un domaine de définition qui va jusqu'à +infini. La démarche est un peu la même qu'en a), puisque qu'il faut faire attention à ne pas faire la même erreur qui est de tout de suite chercher à appliquer ln(a*b)=ln(a)+ln(b).

[acoustica]

Quel est le domaine de définition de la fonction Ln qui conditionne le signe de l'expression quelle inclut?
Par ailleurs, que sait-on des propriétés de et ? Le a) et le b) sont à revoir.

Non, précisément, on ne peut pas appliquer cette formule pour chercher un ensemble de définition. :lol3:

Par exemple, la fonction f(x)=1 est définie sur R. Mais la fonction f(x)=x/x est définie sur R privé de 0.
Ici, c'est pareil, mais avec du logarithme. Une fois qu'on a bien regardé sur quoi on pouvait appliquer la formule, là on peut l'appliquer. Mais pas pour chercher un ensemble de définition.

[maritchdu59]

Dans ce cas, quelle est la méthode a appliquer pour trouver cet ensemble de définition ?

[acoustica]

Dans ce cas, quelle est la méthode a appliquer pour trouver cet ensemble de définition ?

Ne cherche pas tout de suite à simplifier avec des formules de logarithme.

ln[(-2) * (-3)] existe bien, mais pas ln(-2)+ln(-3).

Donc tu prends chaque logarithme un par un, et tu regardes quand les fonctions dans le logarithme sont strictement positives. Puis tu fais l'intersection des intervalles, pas la réunion. Est-ce que tu vois bien pourquoi ?

[maritchdu59]

Je pense avoir compris , la réponse a) serait donc ]0;+inf[ et la réponse b) serait ]0;2[.
Ai-je raison ?

[acoustica]

Je pense avoir compris , la réponse a) serait donc ]0;+inf[ et la réponse b) serait ]0;+inf[.
Ai-je raison ?

Nein, pour la a), -3 est bien dans l'ensemble de définition puisque (-3)^2+2*(-3)=3>0.
Si tu as une calculatrice graphique, regarde : c'est ]-infini,-2[ intersection ]0,+infini[
Etudie le trinôme x^2+2x. Quand est-il positif ?

Et pour la b), comme je disais plus haut, tu ne pourras pas aller jusqu'à +infini puisque 2-x devient négatif dès que x>2.

Trace ces fonctions dans les logarithmes sur ta calculatrice. L'ensemble de définition, c'est quand chacune des fonctions entre logarithmes est positive strictement.

[maritchdu59]

Le trinôme est positif dans ]O;+inf[

L'ensemble de définition est pour la b) ]0;2[ ?

[acoustica]

Le trinôme est positif dans ]O;+inf[

L'ensemble de définition est pour la b) ]0;2[ ?

Pas seulement ! Un trinôme n'est jamais positif que sur [a,+infini]. Ca, ca n'existe pas chez les trinômes, regarde leur allure de parabole. S'il est positif sur [a,+infini[, alors il existe b<a tel que le trinôme est positif aussi sur ]-infini,b[. Tu as tracé tes courbes ?

[acoustica]

Le trinôme est positif dans ]O;+inf[

L'ensemble de définition est pour la b) ]0;2[ ?

Pour la b), c'est bon.

Pour la a), je comprends ton erreur, dis-moi si je me trompe. Tu t'es dis "x>0 pour x>0 et x+2>0 pour x>-2. Je prends l'intersection des deux et ça fait ]0,+infini[."

Seulement, ce raisonnement ne tient pas puisque l'intersection des intervalles, tu dois la prendre plus tard.

Tu veux savoir quand x^2+2x est positif. Pour cela, tu peux faire une étude trinôme, avec le gros bazooka, le discriminant et tout ça, mais plus simple (comme tu as fais), tu fais un tableau de signes. Mais attention, si x et x+2 sont simultanément négatifs, ça fait un produit positif et tu peux prendre le logarithme. Le coup de l'intersection des intervalles, c'est pour le b), quand tu étudies les logarithmes un par un, mais par pour le a), tu n'as qu'un seul logarithme.

[maritchdu59]

L'ensemble de définition complet est ]-inf;-2[ U ]0;+inf[ mais la fonction n'est positif que sur ]0;+inf[ !

[acoustica]

Si tu veux comprendre tes erreurs, il faut que tu postes ta démarche, pas seulement ton résultat. Comme ça, on peut analyser ce que tu as fais.

[acoustica]

L'ensemble de définition complet est ]-inf;-2[ U ]0;+inf[ mais la fonction n'est positif que sur ]0;+inf[ !

De quelle fonction parles-tu ? Poste ta démarche, tes calculs, détaille bien tout, on verra ça après, d'accord ? :zen:

[maritchdu59]

De quelle fonction parles-tu ? Poste ta démarche, tes calculs, détaille bien tout, on verra ça après, d'accord ? :zen:

Désolée si vous avez du mal à me comprendre !
Je parle de la fonction a) f(x) = ln(x²+2x)
Je me demande si l'ensemble de définition qui est correct était est ]0;+inf[. Mais par exemple si x vaut -10, x²+2x vaut 80. Or 80>0 ce qui signifie que -10 appartient au domaine de définition non ? Donc la réponse serait que l'ensemble de définition est ]-inf;-2[ U ]0;+inf[.

[acoustica]

Désolée si vous avez du mal à me comprendre !
Je parle de la fonction a) f(x) = ln(x²+2x)
Je me demande si l'ensemble de définition qui est correct était est ]0;+inf[. Mais par exemple si x vaut -10, x²+2x vaut 80. Or 80>0 ce qui signifie que -10 appartient au domaine de définition non ? Donc la réponse serait que l'ensemble de définition est ]-inf;-2[ U ]0;+inf[.

Ah oui d'accord, je comprends. Oui, l'ensemble de définition est bon cette fois. :we:

[maritchdu59]

Donc je récapitule :
a) la réponse est ]-inf;-2[ U ]0;+inf[.
b) la réponse est ]O;2[

Ensuite j'ai trouvé pour la c) que l'ensemble correspondait à ]-inf;-2] U ]0;+inf[ et que l'ensemble de définition de la d) correspondait à ]O;2[
Qu'en pensez-vous ?