Limites de suite

[Raphaellll]

Soit Un une suite croissante, à termes positifs et majorée par 1. Cette suite est définie par la relation de récurrence Un+1 = (2Un + 1)/(Un + 2). La limite de Un quand n tend vers + l'infini est notée l. On cherche cette limite. Dans la correction il est dit que par composition des limites, la limite de Un+1 quand n tend vers + l'infini est égale à l. Moi par composition des limites de trouve (2l + 1)/(l + 2). Je comprend que si Un tend vers l alors Un+1 aussi mais je ne comprend pas pourquoi on utilise le terme "par composition des limites. Si quelqu'un peut m'éclairer. merci d'avance.

[catamat]

Bonjour

Si la suite a pour limite il est assez clair que tend vers puisque il s'agit de la même suite...

Pour ce qui est de la composition si on pose telle que
alors

or
et
donc par composition

[Ben314]

Salut,
Pour compléter ce que dit Catamat, à mon sens, il y a deux choses qui peuvent être considérées comme étant de la "composition de limites" :
1) Tu as une suite qui tend vers un réel et tu considère une suite de la forme où est une fonction qui tend vers lorsque la variable tend vers . Dans ce cas, la suite tend aussi vers le réel .
2) Tu as une suite qui tend vers un réel et tu considère une suite de la forme où est une fonction définie au voisinage de et continue en . Dans ce cas, la suite tend vers le réel .

Et en fait, si tu regarde une suite comme une application de dans , dans les deux cas, on a bien composé cette application avec une deuxième application : dans le premier cas, on a composé "à droite" : et dans le deuxième "à gauche" :