Limites de fonction exponentielle

[worm11]

Bonjour,
Pouvez vous m'aider a déterminer la limite de f(x)=xe^-x ?
Merci d'avance

AH et j'oubliais, c'est en plus l'infini.

[anima]

As-tu vu le theoreme de l'hospital? Si oui, applique-le et tu peux prouver le resultat: l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de x.

Bref, tu peux t'amuser a le prouver, ou a comprendre. Dans les deux cas, le tout tendra vers zero.

[worm11]

Non,ce théoreme est vu en terminale S ?!
De quoi s'agit ce théoreme en fait ?

[anima]

Avec ici, f = x, g = e^x

[worm11]

uuuuuh...non je ne pense pas que l'on ai vu ça en Tle S,
N'avez vous pas un autre moyen pour déterminer cette limite au niveau Terminale ?

[anima]

Bah, il y en a une autre, de methode:
- Developpements limites

Mais bon, c'est bourrin. Plutot, le th. dont je te parlais plus haut a une forme plus intuitive, mais plus restreinte. Tu sais que tes 2 fonctions sont monotones sur [0,[. Donc, tu peux dire que si en un point, le quotient de leur coefficients directeurs tend vers une valeur, alors la fonction tend vers cette valeur en un point.
quotient de 2 fonctions. En un point (exemple, 0), , et . Le tout tend donc vers 1.
Verifie sur un graphe, ca marche pour tout R du moment que les fonctions sont monotones sur un intervalle (tu peux le generaliser, mais ca necessite un peu plus de connaissances, et une fois generalise, ca donne le th. de l'Hospital).

Pousse la limite en l'infini. Tu verras que tu as un quotient de

[bombastus]

Bonsoir,

En terminale, il n'y a pas justement un théorème sur les croissances comparées? (l'exponentielle l'emporte sur les puissances de x qui elles-mêmes l'emportent sur le logarithme)

Si oui, tu dois avoir les démos dans ton cours (en passant par les logarithmes).

[bombastus]

Bonsoir,

En terminale, il n'y a pas justement un théorème sur les croissances comparées? (l'exponentielle l'emporte sur les puissances de x qui elles-mêmes l'emportent sur le logarithme (enfin sous certaines conditions des signes des puissances))

Si oui, tu dois avoir les démos dans ton cours (en passant par les logarithmes).

[anima]

Justement, je pense pas que c'est demontrable juste avec une transfo. vers des logarithmes. T'aboutis en un x - ln|x|, qui revient, somme toute, au meme probleme qu'au debut.

[bombastus]

Bah si, les limites "classiques" du genre ln(x)/x, elles sont démontrées en terminale, non? Et une fois que tu as celles-là, tu as x - ln|x|, donc la limite recherchée.

[anima]

Ok; tu m'excuseras, j'ai deja pas fait une terminale en france, alors en plus si c'etait y'a 2 ans... :ptdr:

[Skullkid]

Une autre méthode, certes difficile à trouver tout seul, mais tout à fait accessible : montrer que sur .

Les dl sont pas au programme de lycée et la règle de l'Hospital est interdite de séjour en France

[bombastus]

Ok; tu m'excuseras, j'ai deja pas fait une terminale en france, alors en plus si c'etait y'a 2 ans... :ptdr:

Pas de soucis, moi ça fait beaucoup plus que 2 ans et j'avoue que je n'étais pas certain dans ce que je racontais mais après recherche, je crois que c'est la méthode attendue.

De toute façon cela rejoint ta première idée, après c'est juste une question de formulation...