Limites : esquisser le graphe d'une fonction (-1-?)

[Orphée]

Bonjour,

J'ai la fonction suivante :

f(x) = 2x / (x*x - 1)

Et je dois trouver les intersections avec le graphe, puis déterminer les limites de la fonction, pour finir par faire le graphe.

Pour les intersections avec le graphe, j'ai :
f(0) = 0/-1 = 0 -> (0;0)
Et :
f(x) = 0 = 2x / (x*x - 1) -> 2x = 0 -> x = 0 -> (0;0)

Pour les limites, j'ai fait :

lim(x->1+) f = + infini
lim(x->1-) f = -infini

La courbe tendra vers +infini en s'approchant de 1 par la droite. Et la courbe tendra vers -infini en s'approchant de 1 par la gauche.

lim(x->+infini) f = 1+
Détail : 2x / (x*x - 1) -> 2*infini / (inifini*infini - 1) = infini / infini = 1
(Et un tableau de valeurs m'indique que la courbe arrivera par la droite, donc 1+)

lim(x->-infini) f = -1-
Détail : 2x / (x*x - 1) -> 2* (-infini) / ((-infini) * (-infini) - 1) = -infini / infini = -1
(Et un tableau de valeurs m'indique que la courbe arrivera par la gauche, donc -1-)

Ce qui me donne le graphe suivant :



Pourtant, là, la courbe ne passe pas par (0;0) comme vu dans les points d'intersection.

Est-ce que c'est possible d'arriver à une valeur de -1- ? C'est-à-dire -1 en arrivant par le bas (en l'occurrence) ? Ca me paraît bizarre, du point de vue notation. Je viens tout juste de commencer les limites, donc je ne sais pas, et je me demandais. Et puis le graphe a une allure bizarre, mais enfin ça je sais que ça ne veut rien dire.

Bref, est-ce que comme j'ai fait, c'est correct ?

Merci d'avance !

[Orphée]

Ah oui pardon, je me suis trompé d'exercice en recopiant. En fait, j'ai effectivement trouvé R - {1}, et pour le reste, ça ne change rien (dans les limites que j'ai mises ici, c'est bien lim(x->1), et le graphe aussi, donc c'est tout bon). Merci de me l'avoir signalé.

[Orphée]

Ah oui juste !! Merci ! Donc le domaine de définition vaut R - {1 ; -1} (il y a une meilleure manière d'écrire ça ?).

Ce qui veut dire que maintenant, je dois chercher la limite lorsque x tend vers 1 par la droite, puis par la gauche (déjà fait), puis ensuite lorsque x tend vers -1 par la droite, puis par la gauche ?

lim(x->1+) f = +infini
lim(x->1-) f = -infini
lim(x->-1+) f = +infini
lim(x->-1-) f = -infini

Ce qui donne un graphe ressemblant à ça :



C'est bien ça ?

[Orphée]

Hum, d'accord. Là, en vertical, c'est correct ? C'est juste pour l'horizontal que c'est faux, donc ? (Ce n'est pas 1 et -1, les limites.) Enfin peu importe que ce soit faux ou pas, en fait, si c'est la méthode qui est à revoir.

Dans ce cas, il faut que je prenne des valeurs déterminées, des très grands nombres, par exemple ?

Par exemple, pour lim(x->+infini) :

x | f
99 | 0.02..
999 | 0.002..
9999 | 0.0002..

Et je vois que ça tend vers 0+. Cette méthode est meilleure ?

[Orphée]

Je suis désolé, je ne vois pas. Je n'arrive déjà pas à factoriser le numérateur et le dénominateur...

[Orphée]

Ah, merci beaucoup ! Par contre je ne savais pas qu'on pouvait faire ça (trouver les limites dans l'équation, et presque les utiliser comme nombres), je n'aurais sûrement pas trouvé tout seul.

Ce qui donne lim(x->+infini) f = 0+

Et pour -infini, la même chose :

2/(-infini-1/(-infini))

1/(-infini) tend vers 0-
-infini = -infini
-infini - 1/(-infini) = -infini - (tend vers 0-) = -infini
2/-infini = tend vers 0-

(Je ne suis pas sûr que j'aie le droit d'écrire -infini directement, je dois mettre x en sachant que x tend vers -infini, n'est-ce pas ?)

Donc : lim(x->-infini) f = 0-

Ce qui fait que l'asymptote horizontale est 0, et le graphe ressemble à ça :

[Orphée]

Excellentissime, merci beaucoup, Rain' ! Je te dois la bonne note que je ferai ;) Merci.

[Orphée]

Ben en fait, pour faire lim(x->1+/-), il faudrait aussi utiliser cette méthode ? Parce que je me rends compte que là, je me base sur le fait que ce sera de toute façon infini, ce qui n'est pas forcément le cas, ou si ?

Il faudrait que je simplifie l'équation (même chose qu'avant), ce qui donnerait :

lim(x->1+) 2/(x-1/x)

Et là, si x tend vers 1+, ça donne :

1/x = 1- (tend vers 1 par la gauche)
x - 1/x = (1+) / (1-) -> Celui-là, je ne sais pas exactement ce qu'il en est. Bon un tableau de valeurs m'indique que ce serait 0+, mais c'est une méthode de physicien, comme tu l'as joliment dit :p

En fait, je sais que 1/1+ donnera 1-
Donc (1+) - (1-), sachant que (1+)>(1-), donnera 0+, logiquement, c'est ça ?

À partir de là, 2/0+ = +infini

C'est le développement, usant la meilleure méthode, pour prouver que lim(x->1+) = +infini, c'est juste ?