Limites et continuités.

[opxsl]

Bonjour à tous et à toutes, voila j'aurai aimé vouloir si les résultats de mon devoir son juste ou pas. Si mes réponses sont complètes ou non.

Voici l'énoncé :

soit f la fonction définie sur R privé de 0 par:
f(x)= x racine de (1+(1/x²)) et Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormal (o;i;j).
1)démontrer que f est une fonction impaire.
on appelle g la restriction de f a l'intervalle I= ]0; + oo[ et Cg sa courbe représentative dans le repère précédent.
2) déterminer les limites de g en 0 et en + oo.
3)démontrer que g est croissante sur I.
4) on pose h(x)= g(x)-x ;déterminer la limite de h en + oo et interpréter graphiquement le résultat.
5) déterminer la limite de ((g(x)-1)/x) en 0.
quelle est l'allure de la courbe Cg au voisinage du point A(0;1).


en image --> http://img252.imageshack.us/my.php?imag … 559ww4.jpg

Mes résultats :

1)f(-x)=-x.racine(1+1/x²)=-f(x) => f impaire


2)x>0, donc x.racine(1+1/x²)=racine(x²(1+1/x²))=racine(x²+1)=g(x)

lim x²+1=1 donc lim g(x)=racine(1)=1
x->0

lim x²+1=+inf donc lim g(x)=+inf


3)(racine(u))'=u'/(2racine(u))

g'(x)=2x/(2racine(1+x²))=x/racine(1+x²)
Comme x>0, g'(x)>0 et g croissante


4)h(x)=g(x)-x= x[racine(1+1/x²)-1]

lim racine(1+1/x²)-1=0
x->+inf

donc lim h(x)=0
x->+inf

La droite y=x est donc asymptote oblique à f en +inf
x->+inf


5)(g(x)-1)/x=(racine(x²+1)-1)/x
=(racine(x²+1)-1)(racine(x²+1)+1)/(x(racine(x²+1)+1)
=x²/(x(racine(x²+1)+1)
=x/(racine(x²+1)+1)

lim (racine(x²+1)+1)=2
x->0

donc lim (g(x)-1)/x=0
x->0

Comme g(x) tend vers 1 qd x tend vers 0, on a calculé ici la dérivée de g en 0
=> g'(0)=0
donc la courbe admet une asymptote horizontale en (0,1)

Merci d'avance de votre aide. :we:

[le_fabien]

Bonsoir,
Pour moi tout est juste sauf la question 4.

[rockrules]

bonjour, j'ai, moi aussi à faire le même devoir et je ne comprends pas comment vous trouvez la dérivée, on ne peut pas simplifier davantage la forme de f(x) et je ne sais pas comment la "transformer" ...

[rockrules]

et pour la question 5, je trouve la même limite c'est-à-dire 0, mais "chez moi" :
g(x)-1 / x = (x(racine carrée 1=1/x^2) -1) / x
= racine carrée (1+1/x^2)-1

lim en + infini de x^2 = plus infini
lim en + infini de 1/x^2 = 0
lim en + infini de 1 + 1/x^2 = 1
lim en 1 de racine x=1
donc lim en + infini de racine carrée 1 + 1/x^2 = 1
donc lim en + infini de racine carrée 1 + 1/x^2 - 1= 0

est-ce juste aussi comme méthode (en un peu mieux redigé bizen sûr ! ) ?
merci beaucoup