Limites et continuité - Fonction Arctangente

[Hanaconda]

Bonsoir,
J'ai un exercice portant sur le chapitre des limites et continuité, et je galère à le résoudre. Je vous serais reconnaissante si vous pouviez m'y aider
Voici les questions:

1. Soient x et y deux réels;
a. On pose a = Arctan(x) et b = Arctan(y). Montrer que cos(a+b) = (1-xy) cos(a)cos(b);
b. En déduire que: si xy < 1, alors Arctanx +Arctan(y) = Arctan((x+y)/(1-xy) J'ai trouvé celle-là, mais je ne vois pas pourquoi xy doit être strictement inférieure à 1

2. Quelque soit n de N*, on pose : Un = (somme variant de k=1 à n de)Arctan(1/(2k^2))
Montrer que ( quelque soit n appartenant à N*) Un = Arctan(n/(n+1))

Merci de bien vouloir m'y aider!

[aviateur]

Bonjour
Pour le 1) pour comprendre, prends x=1 et , tu verras que cela ne vas pas.
Cela veut dire qu'il y a quelque chose qui ne va pas dans ta démo.

Pour la question 2. je trouve dommage qu'on ait donné la solution , cela enlève du charme à l'exo.
Une simple récurrence permet de vérifier que c'est vrai.

[Black Jack]

Salut,

1)

a)

a = arctan(x)
b = arctan(y)

avec a et b dans ]-Pi/2 ; Pi/2[

tan(a) = x
tan(b) = y

1 - xy = 1 - tan(a)*tan(b)

(1 - xy)*cos(a)*cos(b) = (1 - tan(a)*tan(b)) * cos(a)*cos(b)

(1 - xy)*cos(a)*cos(b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b)

(1 - xy)*cos(a)*cos(b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b)

(1 - xy)*cos(a)*cos(b) = cos(a+b)
**********
b)

Tu as probablement "oublié" de tenir compte que la fonction tan() était Pi périodique.

avec a et b dans ]-Pi/2 ; Pi/2[

1 - xy = 1 - tan(a)*tan(b)
x + y = tan(a) + tan(b)

(x+y)/(1 - xy) = (tan(a) + tan(b))/(1 - tan(a)*tan(b))

(x+y)/(1 - xy) = tan(a+b)

a + b = arctan((x+y)/(1 - xy)) ou a + b = arctan((x+y)/(1 - xy)) +/- Pi (car tan() est Pi périodique)

Il reste à montrer que si xy < 1, c'est a + b = arctan((x+y)/(1 - xy)) qui convient.
Alors que si xy > 1, c'est a + b = arctan((x+y)/(1 - xy)) +/- Pi qui convient.

Je montre une possibilité (parmi d'autres) pour le faire :

1°)Supposons x et y > 0 et x.y > 1, alors (x+y)/(1 - xy) < 0 mais a et b > 0 --> a + b = arctan((x+y)/(1 - xy)) ne convient pas (un membre est positif et l'autre négatif), c'est alors a + b = arctan((x+y)/(1 - xy)) + Pi qui convient.
Vérification : x = 1 et y = 2 --> xy = 2 (> 1), (x+y)/(1 - xy) = -3 et arctan((x+y)/(1 - xy)) = -1,2490... ; arctan((x+y)/(1 - xy)) + Pi = 1,8925...
a = arctan(1), b = arctan(2), a+b = 1,8925...
On a donc bien ici : a + b = arctan((x+y)/(1 - xy)) + Pi et pas a + b = arctan((x+y)/(1 - xy))

2°)Supposons x et y < 0 et x.y > 1, alors (x+y)/(1 - xy) > 0 mais a et b < 0 --> a + b = arctan((x+y)/(1 - xy)) ne convient pas ...

3°)Supposons x.y < 1
Essaie de poursuivre ...