Limites aux bornes

[valent1]

[TEX]Bonjour,

Ayant cumulés plusieurs absences depuis les dernieres semaines, j'ai voulu essayer de rattraper mon retard. J'ai donc pris un exercice, et essayer de le faire. Seulement, je m'aperçois avec effroi que j'ai d'enormes lacunes. J'aimerais donc expliquer rapidement ici mon probleme, et avoir une aide.

Ma fonction de base est f(x)=[(x+2)^2(x-1)]/x^2

La premiere partie de l'exercice consiste en quelque de tres simple, nous devons aboutir à f(x)=x+3-(4/x²)

La seconde partie de l'exercice nous demande de calculer les limites de la fonction aux bornes. C'est ici que je commence a avoir des problemes...
Les bornes sont bien en rapport avec l'ensemble de definition ? Ici,
Df=R \ {0}
Je dois donc, enfin je pense donc, qu'il me faille calculer:
1/ la limite quand x tend vers 0- de f(x)
2/ la limite quand x tend vers 0+ de f(x)
3/ la limite quand x tend vers +\infty de f(x)
4/ la limite quand x tend vers -\infty de f(x)

Par somme j'obtiens donc
1/ lim = -\infty
2/ lim = -\infty
3/ lim = +\infty
4/ lim = -\infty

Malgré ça je pense que ces resultats sont completement faux ( je desespere car je suis tout de meme en 1°S, ne pas savoir faire ça c'est limite je sais, sans jeux de mots). De plus, quelqu'un pourrait i il re expliquer rapidement ce que represente 0- et 0+ ?
Selon moi, on parle de 0- pour des valeurs se rapprochant de 0, du coté negatif. Et 0+ pour des valeurs se rapprochant de 0, du coté positif.

En esperant une reponse, je vais continuer a chercher dans mon livre de math, on ne sait jamais ..

Valentin, nouveau posteur .

[Titoww]

En effet , le calcul de la limite aux bornes se ramène à ce que tu as fait et la limite en 0- signifie la limite en 0 lorsque l'on se rapproche de 0 par valeurs négatives.

Les valeurs des limites sont bonnes si ta fonction réduite est correcte : je te conseille en cas de doute de vérifier sur ta calculette graphique qui te donne souvent une bonne idée des limites aux bornes

[valent1]

Mes valeurs des limites sont donc bonnes. Si je continue l'exercice, on me demande d'en deduire les asymptotes a f(x). Seulement, a partir de ces calculs, je ne vois pas ce que je peux en deduire.

Je peux parler de la droite d'equation y=x+3 , et dans ce cas:

D ( droite d'equation y=x+3 ) sera asymptote a Cf ( droite de la fonction f )
en -infini et en +infini.
Mais ça ne repond pas vraiment a la question je crois, mais simplement d'etudier la position relative de D et de Cf, comme la suite de l'exercice le demande.
Pour trouver une asymptote a la courbe Cf, je ne devrais pas avoir comme resultats des limites en +infini et -infini quelque chose de plus concret que
-infini et +infini ?

Et merci pour ta reponse rapide Titoww ^^





Le raisonnement suivant est il bon par ailleurs :

f(x) - y = x+3-(4/x²) -(x+3)
= -4/x²

J'etudie donc ensuite les limites de -4/x² et j'en conclu ce que j'ai fait plus haut, c'est a dire :
D ( droite d'equation y=x+3 ) sera asymptote a Cf ( droite de la fonction f )
en -infini et en +infini

[valent1]

Si je continue mon exercice, on me demande donc la position relative des 2 courbes, Cf et D.

f(x) - y = -4/x² . De plus, x² > 0 car un carré est positif.

Donc : -4/x² > 0

On en conclut donc que sur l'intervalle [-infini ; +infini] , la courbe D sera toujours au dessus de la courbe Cf.

Est-ce que ceci est juste ?
__________

Pour la suite, je dois resoudre f(x)=0

<=> x+3 -(4/x²) = 0
<=> [(x+2)²(x-1)]/x² = 0 (j'ai ici repris la forme de base de la fonction )
<=>( x^3+3x²-4)/x² = 0

A partir d'ici je ne vois pas comment resoudre ça, sachant que ce n'est pas un polynome du second degré, et que je n'arrive pas a la changer de forme.
Si vous pouviez me mettre sur la piste, sans m'indiquer la reponse, ce serait sympa.

Val.

[Titoww]

Sans avoir l'exercice en entier je ne peux exactement maîtriser le sujet mais ce que tu dis et bon et ta conjecture sur les positions relatives des courbes et correcte ( à l'erreur de frappe prêt sur le signe de -4/x^2 qui tend bien vers 0 en +/- infini et donc tu as la bonne asymptote ).

Pour ton équation elle est équivalente à x^3+3x^2-4=0 (x=/=0) . A ta place je tenterais de trouver des racines dites "évidentes" permettant de factoriser (x-a) du polynôme ( ou a est la racine ). Une fois que tu en as trouvé une, tu te ramène à un produit de termes qui est nul, et tu devrais pouvoir achever ton exercice.

[valent1]

Bon pour cette equation :
x^3+3x^2-4=0

Instinctivement on voit que si x=1, alors le resultat sera bien 0... mais par le calcul je suis perdu.
Mais j'ai quand meme avancé par rapport au debut.

L'exercice se termine par l'etude des variations de la fonction. Pour cela, je prepare la derivée, que je vais appliquer avec x+3 -(4/x²) :

f'(x) = 1 + (8x/x^4) car :
une fois x derivé nous avons 1
une fois 3 derivé nous avons 0
une fois 4/x² derivé, a l'aide de la formule u/v qui donne (u'v-uv')/v²,nous avons 8x/x^4, en considerant que u=-4 ; u'=0 ; v=x² ; v'=2x

Mais je ne sais plus quoi faire apres ceci ...
Je n'aurais jamais imaginé avec autant de mal sur cet exercice en particulier, ayant deja fait le meme genre sans avoir eu autant de probleme.

En principe, une fois la derivée obtenu, je calcule les differentes solutions a l'aide de delta, et je finis par remplir mon tableau de valeur, la derniere ligne etant consacrée a f(x) et son sens de variation.

Je dois pour finir tracer sur un graphique la courbe Cf, ainsi que ses asymptotes. Mais je suis encore loin du compte ...

En esperant de l'aide, et toujours en remerciant titoww.

Valentin.

[Titoww]

Aller coup de pouce : vérifie que x^3+3x^2-4=(x-1)(x+2)^2 ce qui devrait te simplifier ta résolution d'équation.

Pour l'étude de signe ramène tout sous le même dénominateur et fais une étude de signe classique en superposant dans un tableau les signes du numérateur et du dénominateur...

[valent1]

Bon et bien merci beaucoup pour le petit coup de pouce. Effectivement, c'est plus clair de suite. J'aurais vraiment eu du mal a mettre la main sur cette factorisation!

Et sinon ce n'est pas une etude de signe de la fonction x qui doit terminer l'exercice mais une etude des variations de f(x). C'est pour ceci que la derivée m'etait indispensable.

Je vais finir ma soirée sur la petite derivée, et encore merci a toi pour cette precieuse aide.

Je tiens pour terminer, à dire que ce forum est superbe!

Valentin, nouveau posteur, deja addicte.